矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。
这里先对原理（主要运用了矩阵乘法的结合律）做下简单形象的介绍：
一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。
但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：
把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A => (A*A)*(A*A)*(A*A)
这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。
其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。
以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。
有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。
既然要减少重复计算，那么就要充分利用现有的计算结果咯！~怎么充分利用计算结果呢？？？这里考虑二分的思想。。
大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！
计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。 好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。
回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如A^19 => （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：
现在要求A^156,而156(10)=10011100(2)
也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128) 考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这，下面给核心代码：
1 while(N) 2 { 3 if(N&1) 4 res=res*A; 5 n>>=1; 6 A=A*A; 7 }
里面的乘号，是矩阵乘的运算，res是结果矩阵。
第3行代码每进行一次，二进制数就少了最后面的一个1。二进制数有多少个1就第3行代码就执行多少次。
好吧，矩阵快速幂的讲解就到这里吧。在文章我最后给出我实现快速幂的具体代码（代码以3*3的矩阵为例）。
现在我就说下我对二进制的感想吧：
我们在做很多”连续“的问题的时候都会用到二进制将他们离散简化
1.多重背包问题
2.树状数组
3.状态压缩DP
……………还有很多。。。究其根本还是那句话：化连续为离散。。很多时候我们并不是为了解决一个问题而使用二进制，更多是时候是为了优化而使用它。所以如果你想让你的程序更加能适应大数据的情况，那么学习学习二进制及其算法思想将会对你有很大帮助。
最后贴出一些代码供大家学习，主要起演示的效果：
1 #include <cstdlib> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 #include <iostream> 5 using namespace std; 6 7 int N; 8 9 struct matrix 10 { 11 int a[3][3]; 12 }origin,res; 13 14 15 matrix multiply(matrix x,matrix y) 16 { 17 matrix temp; 18 memset(temp.a,0,sizeof(temp.a)); 19 for(int i=0;i<3;i++) 20 { 21 for(int j=0;j<3;j++) 22 { 23 for(int k=0;k<3;k++) 24 { 25 temp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j]; 26 } 27 } 28 } 29 return temp; 30 } 31 32 void init() 33 { 34 printf("随机数组如下:\n"); 35 for(int i=0;i<3;i++) 36 { 37 for(int j=0;j<3;j++) 38 { 39 origin.a[i][j]=rand()%10; 40 printf("%8d",origin.a[i][j]); 41 } 42 printf("\n"); 43 } 44 printf("\n"); 45 memset(res.a,0,sizeof(res.a)); 46 res.a[0][0]=res.a[1][1]=res.a[2][2]=1; //将res.a初始化为单位矩阵 47 } 48 49 void calc(int n) 50 { 51 while(n) 52 { 53 if(n&1) 54 res=multiply(res,origin); 55 n>>=1; 56 origin=multiply(origin,origin); 57 } 58 printf("%d次幂结果如下：\n",n); 59 for(int i=0;i<3;i++) 60 { 61 for(int j=0;j<3;j++) 62 printf("%8d",res.a[i][j]); 63 printf("\n"); 64 } 65 printf("\n"); 66 } 67 int main() 68 { 69 while(cin>>N) 70 { 71 init(); 72 calc(N); 73 } 74 return 0; 75 }
转载自：http://www.cnblogs.com/yan-boy/archive/2012/11/29/2795294.html