#421 Div1 C

#421 Div1 C

题意

在 (0, n) 和 (m, 0) 处各有一个装置，从起始点(0, 0)出发，首先走短路到 (m, 0) 拿起装置回到起始点，再去 (0, n) 处拿起装置回到起始点。当 (m, 0) 处的装置被触碰后，对于后面所有时刻，如果存在某一时刻有一点 (x, y) 和其余两个装置的位置三点组成的三角形面积为s，则计数加1，求最终计数。

分析

• 对于状态 1，即从 ((m, 0)) 移动到 ((0, 0)) 的过程，设在 x 轴上移动的坐标为 ((k, 0)) ，设任意点坐标 ((x, y)) ，则有 (((0, n) - (k, 0)) imes ((x, y) - (k, 0)) = 2 * s) ，作向量叉乘运算。有(|k*y + n*x - n*k| = 2*s)，如果要求 (x, y) 有整数解，则要求 (gcd(k, n)|2*s (1 leq k leq m))，对 (n, k, 2*s) 分解质因子，设质因子的个数分别为 (ni, ki, si) ，如果要满足条件，则对于所有质因子有 (min(ni, ki) leq si)，如果 (ni leq si)，则 (ki) 没有限制，如果 (ni > si)，则 (ki leq si)，可以直接考虑 (ni > si， ki = si + 1) 的情况，只要是(p^{si+1})的倍数都是不符合条件，而剩下的都是符合条件的。可以用容斥原理去求。
• 对于状态 2，第一个装置已经在原点((0, 0))了，而第二个装置的位置为((0, k))，设任意点坐标 ((x, y))，向量叉乘运算，有 ((0, k) imes(x, y) = 2*s)，即(|k*x|=2*s)，对于 (1 leq k leq n)，求 (k) 为 (2*s) 因子的个数，找到(2*s)的素因子及个数，利用 DFS 求解。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e6 + 5;
ll a[3]; // n m s
ll ans;
int isp[MAXN];
vector<int> prime;
struct factor {
    ll x, cnt;
};
vector<factor> fac;
vector<ll> num;
void init() { // 素数筛
    memset(isp, 0, sizeof isp);
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) {
        if(!isp[i]) {
            prime.push_back(i);
            for(ll j = 1LL * i * i; j < (ll)MAXN; j += i) {
                isp[j] = 1;
            }
        }
    }
}
vector<factor> getfac(ll x) { // 筛选出质因子及其个数
    vector<factor> vec;
    for(int i = 0; (ll)prime[i] * prime[i] <= x; i++) {
        int c = 0;
        while(x % prime[i] == 0) {
            c++;
            x /= prime[i];
        }
        if(c) {
            vec.push_back(factor{prime[i], c});
        }
    }
    if(x > 1) {
        vec.push_back(factor{x, 1});
    }
    return vec;
}
void dfs1(int pos, ll val, int cnt) { // 容斥
    if(pos >= (int)num.size()) {
        if(cnt & 1) ans -= a[1] / val;
        else ans += a[1] / val;
        return;
    }
    dfs1(pos + 1, val * num[pos], cnt ^ 1);
    dfs1(pos + 1, val, cnt);
}
void solve1() { // 状态 1
    num.clear();
    fac.clear();
    fac = getfac(a[0]);
    for(int i = 0; i < (int)fac.size(); i++) {
        ll sum = 1;
        for(int j = 0; j < fac[i].cnt; j++) {
            sum *= fac[i].x;
            if(a[2] % sum != 0) {
                num.push_back(sum);
                break;
            }
        }
    }
    dfs1(0, 1, 0);
}
void dfs2(int pos, ll val) {
    if(pos >= (int)fac.size()) {
        ans += (val <= a[0]);
        return;
    }
    ll sum = 1;
    for(int i = 0; i <= fac[pos].cnt; i++) {
        dfs2(pos + 1, val * sum);
        sum *= fac[pos].x;
    }
}
void solve2() { // 状态 2
    fac.clear();
    fac = getfac(a[2]);
    dfs2(0, 1);
}
int main() {
    int T;
    init();
    cin >> T;
    while(T--) {
        ans = 0;
        for(int i = 0; i < 3; i++) {
            a[i] = 1LL;
            for(int j = 0; j < 3; j++) {
                ll x;
                cin >> x;
                a[i] *= x;
            }
        }
        a[2] *= 2;
        solve1();
        solve2();
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}