0/1分数规划详解

0/1分数规划学习笔记

由于模拟赛出了这道题而本蒟蒻对分数规划一无所知，所以痛定思痛地学习分数规划，介绍0/1分数规划的相关知识以及分享本人心中对分数规划的浅薄理解，如有不妥或错误，敬请各路大佬在评论区指正。

（这是我写的最认真的数学笔记）

1、0/1分数规划模型

0/1分数规划模型是指，给定一系列整数(a_1),(a_2)......(a_n)以及(b_1),(b_2)......(b_n)，求一组解(x_i)（(1leq i leq n)，(x_i=0 |1)）,使得下式最大化。

[frac{sum_{i=1}^{n}{a_i}cdot{x_i}}{sum_{i=1}^{n}{b_i}cdot{x_i}} ]

这里有一个误区（是我存在过的误区），就是0/1分数规划的(x_i)值是恒定的，也就是说，针对于上式，不存在分子的(x_i)为0而分母的(x_i)得1的情况。而必须是同时得0或同时得1.

所以我们会发现，这个模型可以这样去理解：

给定长度相等的两个数列（即若干对整数(a_i),(b_i)），从中选出若干对，使得选出的数对的(a)之和和(b)之和的商最大。

这个模型很重要！！！

2、针对0/1分数规划模型的推论

我们在考虑解决0/1分数规划问题的时候，其实就是在找一组解{(x_1,x_2,x_3,cdots x_n)}，(x_iin {0,1}),使得上面的式子成立。

我们随便猜测一个值(A),使得下式成立：

[sum_{i=1}^{n}({a_i}-Acdot{b_i})cdot{x_i}geq0 ]

如果存在这样一组解

那么我们把上式变形得到：

[(sum_{i=1}^{n}{a_i}cdot{x_i})-Acdot(sum_{i=1}^{n}{b_i}cdot{x_i})geq0 ]

即：

[exists{{x_1},{x_2},cdots{x_n}}Rightarrowfrac{sum_{i=1}^{n}{a_i}cdot{x_i}}{sum_{i=1}^{n}{b_i}cdot{x_i}}geq A ]

也就是说，这个设出来的值(A)要比我们所求的最大值小

如果我们存在任意一组解使得下式成立

[sum_{i=1}^{n}({a_i}-Acdot{b_i})cdot{x_i}<0 ]

那么我们同样可以把上式变形得到：

[(sum_{i=1}^{n}{a_i}cdot{x_i})-Acdot(sum_{i=1}^{n}{b_i}cdot{x_i})<0 ]

同理，我们得到：

[forall{{x_1},{x_2},cdots{x_n}}Rightarrowfrac{sum_{i=1}^{n}{a_i}cdot{x_i}}{sum_{i=1}^{n}{b_i}cdot{x_i}}< A ]

也就是说，这个设出来的值(A)要比我们求的最大值大。

所以，通过以上的论述，我们发现，我们所求的最大值，其实可以用二分答案来实现，事实上，这的确也是0/1分数规划的最常见、最常用的实现方式。

3、0/1分数规划的实现

刚刚我们已经说过，0/1分数规划的最常见、最常用的实现方式是二分答案，联想到二分算法，我们能够想出，二分答案的精髓和难点在于判断函数check()的书写，那么针对于二分答案解决0/1分数规划，我们能够通过刚刚的推导发现，我们只需要判断“是否存在一组解满足(sum_{i=1}^{n}({a_i}-Acdot{b_i})cdot{x_i}geq0)”,并由此得到应该向上拓展答案区间还是向下拓展答案区间。

所以，我们把原问题转化为：给定(a_1),(a_2)......(a_n)，(b_1),(b_2)......(b_n)及(A),求一组解：(x_1,x_2,x_3,cdots x_n)，使得(sum_{i=1}^{n}({a_i}-Acdot{b_i})cdot{x_i})最大化。

通过刚才的推导，我们发现，针对于这个问题，我们只需要判断这个最大值是否非负即可，所以，我们得出了二分思路：

在实数域（解的可能区间）二分mid，我们取的每一个mid其实是刚刚问题中的(A),也就是说，我们需要计算这个式子的最大值，检查是否非负，如果非负，则右移区间，否则左移。

求解完毕。