浅谈快速幂/快速乘

浅谈快速幂

这篇随笔简单讲解一下数学问题种快速幂的实现原理及实现。

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快速幂的用途

顾名思义，快速幂就是很快速的幂运算，试想当你面对一个问题：求(a^b)的时候，你的第一反应是开(long long)然后用(for)循环一点一点求。那么你就已经会了幂运算的(O(b))算法。按常理来讲，这样的算法已经够用了，但是遇到一些卡时间的题目的时候还是会(T)，于是快速幂应运而生。简单地说，快速幂就是一种复杂度为(O(logb))的求幂运算的算法。

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快速幂的实现原理

因为快速幂的时间复杂度是(O(logb))的，所以我们自然而然地想到了二进制及位运算。这是显然的，我们知道，一个整数可以被拆分成若干个(2^k)的和。那么类比一下，对于一个幂运算问题(a^b)，我们可以把(b)二进制分解，成为若干个(2^k)的和，那么对应下来就是这些和的幂的乘积。

举个例子：

求解问题：(3^{42})。

第一步，将42二进制拆分：

[(42)_{10}=(101010)_2=1 imes 2^5+0 imes 2^4+cdots+0 imes 2^0 ]

那么，(3^{42})就变成了：

[3^{42}=3^{1×32 + 0×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1} ]

所以，我们就有了这样的一个原理：

在求解(a^b)的时候，如果(b)是奇数，那么原式就是：(a imes a^{b-1})。

同理，如果(b)是偶数，那么原式就可以变成：(a^{bdiv2} imes a^{bdiv 2}).

这是一种倍增的思想，这样我们就把原来的(O(b))算法就被优化成了(O(logb))的算法。

这就是快速幂的实现原理。

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快速幂的代码实现

根据我们刚刚学习的快速幂的实现原理，我们很容易发现，这个东西可以用递归来实现。代码如下：

int qpow(int a,int b)
{
    if(!b)
        return 1;
    else if(b&1)
        return a*qpow(a,b-1);
    else
    {
        int t=qpow(a,b>>1);
        return t*t;
    }
}

但是，学过递归的小伙伴应该知道，递归的常数巨大无比。所以上面的代码并不是一个资深(OIer)会选择的东西。

那快速幂怎么写保证常数不大呢？

我们采用一种迭代的写法：

我们会发现，无论(b)为何值，它在快速幂迭代的过程中要么(-1)，要么(div 2)。但无论它采用了以上的哪一种操作，都必会有一个时刻，(b=1)。，也就是说，(b)在迭代的过程中，至少会有一个时刻(b)为奇数。

那么我们考虑，我们完全可以在(bdiv 2)的迭代中，先不使迭代的结果影响到答案，而是先把迭代的结果储存下来，然后等到(b)为奇数的时候统一加到答案里去。这样就省去了繁琐的递归和记录答案的过程，保证了常数小，而且维护了答案的正确性。

代码如下：

int qpow(int a,int b)
{
    int ret=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
            ret*=a;
        a*=a;
        b>>=1;
        }
    }
    return ret;
}

快速乘的原理及其代码实现

其实，就是把快速幂的乘法运算变成了加法运算。

原理超级容易理解...

模板也大同小异：

ll qmult(ll a,ll b)
{
    ll ret=0;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
            ret=(ret+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}