浅谈如何求逆序对

浅谈求逆序对的两种方式

本篇博客讲解一下信息学奥林匹克竞赛中一种小技巧（我也不知道这是算法还是技巧）——求逆序对。

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逆序对的概念

先放一波啥是逆序对...

对于一个数列(a)，假如(a[i]>a[j])并且(i<j)，那么这个(a[i],a[j])就叫做这个数列的一个逆序对。

简单理解一下：假如本来这个数列是单调递增的，突然出来了一对不和谐的，它非要皮一下，两个数调换一下位置。那么这个不和谐的数对就叫做逆序对。

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归并排序求逆序对

归并排序是求逆序对的一个常见并好用的手段。

如果又小可爱不太了解归并排序，那么请翻阅我的这篇博客：

归并排序详解

其实这篇博客已经讲了咋用归并排序求逆序对...就是我下面讲的那些（Ctrl CV大法）

首先来放结论：如果在归并排序过程中，出现(a[i]>a[j])，那么就会产生(mid-i+1)个逆序对。

很奇妙吧？下面来讲证明：

因为我们做归并排序是用到了分治的思想，最后的操作其实就是递归回溯，从小到大地合并，所以这个时候，我们的两个子序列（即(l-mid)，(mid+1-r)其实都是已经排好序的），这个时候，出现了一个不和谐的(a[i])，说明从这个数一直到(a[mid])的所有数都是不和谐的。我们直接累加就好。

代码只需要在模板归并排序的基础上再加一行即可：（已经用(Attention)标明）

void merge_sort(int l,int r)
{
    if(l==r)
        return;
    int mid=(l+r)>>1;
    merge_sort(l,mid);
    merge_sort(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid && j<=r)
    {
        if(a[i]<=a[j]) 
            b[k++]=a[i++];
        else
        {
            b[k++]=a[j++];
            ans+=mid-i+1;//Attention
        }
    }
    while(i<=mid)
        b[k++]=a[i++];
    while(j<=r)
        b[k++]=a[j++];
    for(int p=l;p<=r;p++)
        a[p]=b[p],b[p]=0;
}

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树状数组求逆序对

使用树状数组求逆序对的想法可能更加的抽象一些。

关于树状数组，如果有需要补习的小伙伴，推荐自己的这篇博客：

树状数组知识点详解

首先，我们需要明白，为什么逆序对可以使用树状数组来求：其实，根据逆序对的定义，我们会发现：其实求解逆序对的过程就是在找一个序列中，在一个数的前面有多少比它大的数。那么，这种区间统计的题，完全可以使用树状数组这种数据结构来解决。

树状数组的功能就是单点修改，区间查询。那么，我们开一个树状数组

（注意：这里的数据可能需要进行离散化，当数据量过大的时候，需要把区间大小离散成元素数量，如有离散化不明白的小伙伴，可以看我的这篇博客：）

浅谈离散化

这个树状数组表示的是在当前元素前且比当前元素大的元素个数。我们从头开始扫，每碰到一个数，就用树状数组的修改操作向上修改，加1。我们查询的时候就可以知道有多少个数比它大，然后用现在已经插入的元素个数减去查询的数量（包括它自己），就可以得出当前逆序对的个数。

模板大致如下：（JDOJ 1927 求逆序对）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int c[500010],rk[500010],n;
long long ans; 
struct point
{
    int num,val;
}a[500010];
inline bool cmp(point q,point w)
{
    if(q.val==w.val)
        return q.num<w.num;
    return q.val<w.val;
}
inline void fix(int p,int d)
{
    for(;p<=n;p+=p&-p)
        c[p]+=d; 
}
inline int getsum(int x)
{
    int sum=0;
    for(;x;x-=x&-x)
        sum+=c[x];
    return sum;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i].val),a[i].num=i;
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        rk[a[i].num]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        fix(rk[i],1);
        ans+=i-getsum(rk[i]);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}