HNOI 2009 有趣的数列

洛谷 P3200 [HNOI2009]有趣的数列

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JDOJ 2130: [HNOI2009]有趣的数列 D1 T3

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Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

​ (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；

​ (2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n；

​ (3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。

​ 现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

HINT

对应的5个有趣的数列分别为
（1,2,3,4,5,6），
（1,2,3,5,4,6），
（1,3,2,4,5,6），
（1,3,2,5,4,6），
（1,4,2,5,3,6）。

Source

HNOI2009

最优解声明

题解：

模拟赛T1爆零题。

暴力打表看一下可以发现：这道题当n=1、2、3、4、5时，答案分别等于：1、2、5、14、42......

根据出题人@(JZYshuraK)的解说，看到这应该马上看出规律。然而本蒟蒻太菜了

这明明就是卡特兰数么？

所以这道题就变成了求第n项卡特兰数模mod。

根据卡特兰数的递推式，常用的计算卡特兰数的递推公式有以下几种：

[f(n)=sum^{n-1}_{i=0}f(i) imes f(n-i-1) ]

[f(n)=f(n-1) imes frac{4n-2}{n+1} ]

[f(n)=frac{C^{2n}_n}{n+1} ]

（以上知识不会请自行补习...）

第一个公式的时间复杂度是(O(n^2))的。比暴力好不了多少。

第二个公式和第三个公式用不了，因为模数和除数不一定互质，无法进行乘法逆元的运算。

但其实是可以用的，第三个公式可以通过把组合数展开：

[C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!} ]

以上是组合数公式。

可以化为：

[frac{C_{2n}^{n}}{n+1}=frac{(2n)!}{n! imes (n+1)!} ]

下面就是这个东西如何去取模的问题。

隆重介绍一种分数取模的方法（乘法逆元固然是最常用的）：质因数分解约分法。

很简单，因为上面的都是阶乘，所以有很多相同项是可以被约去的。

所以我们先预处理出一个(1-2n)的质数表，然后按这个依次合并就好。

代码：

#include<stdio.h>
#define ll long long
#define int long long
ll n,mod,cnt;
ll ans=1,temp,m;
int prime[1000000<<2],a[1000000<<2];
void euler(int x)
{
    for(int i=2;i<=x;i++)
    {
        if(!a[i])
            a[i]=prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(prime[j]>a[i] || prime[j]>x/i)
                break;
            a[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
}
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
            ret=(ret*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&mod);
    int p=n*2;
    euler(p);
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        temp=0;
        m=n*2;
        while(m>0)
        {
            m=m/prime[i];
            temp=temp+m;
        }
        m=n;
        while(m>0)
        {
            m=m/prime[i];
            temp=temp-m;
        }
        m=n+1;
        while(m>0)
        {
            m=m/prime[i];
            temp=temp-m;
        }
        ans=(ans*qpow(prime[i],temp))%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}