浅谈欧拉函数

浅谈欧拉函数

本篇博客简单讲解一下欧拉函数的相关知识点。欧拉函数属于信息学奥林匹克竞赛知识点中数论方面的内容，是数学的一个分支。理解好欧拉函数对开发思维（emm瑟瑟发抖）有很大的帮助。

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欧拉函数的概念

欧拉函数的定义是：对于一个正整数(n)，它的欧拉函数是所有小于等于(n)的正整数中所有与(n)互质的数的数目。记作(Phi (n))

例：

(Phi (8)=4)（(1,3,5,7)与(8)均互质）

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欧拉函数的基本性质

欧拉函数的基本性质有三（最基本的）：

[Phi(1)=1 ]

[Phi (p)=p-1 quad (p为质数) ]

[Phi(p^m)=(p-1) imes p^{m-1}quad(p为质数) ]

第一个很简单我就不说了。

第二个，因为(p)为质数，所以很显然，从(1-(p-1))的所有数都与其互质，但是因为欧拉函数的定义是小于等于(p)的所有数，所以(p)自己是不满足条件的。那么就得证了。

第三个，这是个比较常用的条件。证明也比较好理解，我们可以画一个数轴（在这里我就不画了）。因为(p)是个质数，所以在整个的(p^m)个数中，只有(p)的倍数是与之不互质的，其他的数都与其互质。那么根据容斥原理（这个原理只要学完高中数学必修一集合那部分的都应该会），这个(Phi (p^m))就应该等于(p^m)减去(p^m)中(p)的所有倍数的个数。因为(p^m=p imes p imes pcdots p imes pquad (m个p))，那么显然，(p)的倍数一共会有(p^{m-1})个。那么原式可化为：

[Phi(p^m)=p^m-p^{m-1}=(p-1) imes p^{m-1} ]

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求欧拉函数

根据算术基本定理，任何的一个正整数都可以被唯一分解成若干个质数的积，即：

[n=p_1^{m1}p_2^{m2}cdots p_m^{mm}quad nin N_* ]

我们任取一个数(p)做(n)的质因子，只论(p)的话，那么显然，(p)的倍数都应该被排除掉。同理，如果又有一个(q)也为(n)的质因子，那么(q)的所有倍数也应该被刨除掉。那么还是根据容斥原理，(p,q)的公倍数被排除了两遍，所以需要把多排除的那遍加回来。所以就应该是：

[n-frac{n}{p}-frac{n}{q}+frac{n}{pq}=n(1-frac{1}{p}-frac{1}{q}+frac{1}{pq})=n(1-frac{1}{p})(1-frac{1}{q}) ]

那么，再结合上面的算术基本定理，我们求欧拉函数的通式就应该是：

[Phi(N)=N imes prod_{质数p|N}(1-frac{1}{p}) ]

那么，我们显然可以将其在质因数分解的过程中顺便求出来。

代码：

int Phi(int n)
{
    ans=n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);//这里要是看不明白就在草纸上画一下
            while(n%i==0)
                n/i;
        }
    if(n>1)
        ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

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积性函数及其相关性质

首先放一波积性函数的定义：

如果当(a,b)互质的时候，函数(f(x))满足(f(ab)=f(a) imes f(b))，那么(f(x))就是一个积性函数。

显然欧拉函数是个积性函数（乘法原理）。

积性函数有很多种应用，比如欧拉函数，狄利克雷卷积，莫比乌斯反演等等（滑稽）。但是蒟蒻不会（滑稽）

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线性筛选欧拉函数

当你要求(1-n)的欧拉函数的时候，刚刚的求欧拉函数的方式就比较鸡肋了。所以我们搞出了一个更快的方法——线筛与欧拉函数结合。

其实就是线筛素数，顺便就把欧拉函数也求出来了。

如果有对线筛素数不太熟悉的同学，可以移步这篇博客：

质数相关知识点详解

代码：

void euler(int n)
{
    cnt=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i])
            prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=n && i*prime[j]<=n;j++)
        {
            v[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}

稍微解释一下这段代码。着重解释一下对(phi[])数组的处理。

首先，当确定一个数为质数的时候，这个数的欧拉函数就是这个数减一，这个性质在上面有证明。

然后，在线筛模板上，如果(prime[j])为(i)的一个质因子，那么根据上面的性质，(i imes prime[j])的所有质因子都已经被(i)包括了。因为欧拉函数是个积性函数，所以else语句后的语句也可以被解释。

差不多就是这样？