问题描述
在一个奇怪的星球上驻扎着两个虫群A和B，它们用奇怪的方式繁殖着，在t+1时刻A虫群的数量等于t时刻A虫群和B虫群数量之和，t+1时刻B虫群的数量等于t时刻A虫群的数量。由于星际空间的时间维度很广阔，所以t可能很大。OverMind 想知道在t时刻A虫群的数量对 p = 1,000,000,007.取余数的结果。当t=1时 A种群和B种群的数量均为1。
输入格式
测试数据包含一个整数t，代表繁殖的时间。
输出格式
输出一行，包含一个整数，表示对p取余数的结果
样例输入
10
样例输出
89
样例输入
65536
样例输出
462302286
数据规模和约定
对于50%的数据 t<=10^9
对于70%的数据 t<=10^15
对于100%的数据 t<=10^18
对于70%的数据 t<=10^15
对于100%的数据 t<=10^18
解题思路：看出来是求斐波那契数列第n项了，不过数据范围太大，用O(n)的时间复杂度一定超时。尝试性的提交了一下，看看能不能过几个小数据的样例。
1 //超时代码 2 #include <bits/stdc++.h> 3 using namespace std; 4 const int mod = 1000000007; 5 typedef long long ll; 6 int main() { 7 ll n; 8 cin >> n; 9 ll a = 1; 10 ll b = 1; 11 ll ans = 1; 12 for (int i = 2; i <= n; i++) { 13 ans = (a % mod + b % mod) % mod; 14 a = b; 15 b = ans; 16 } 17 cout << ans << endl; 18 return 0; 19 }
结果一个样例没过，下载测试数据发现基本都是10^8级别。
然后学到这道题是矩阵快速幂的模板题目，时间复杂度O(logn)。
先复习一下一般的快速幂。
预备知识：快速幂的百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E5%B9%82/5500243?fr=aladdin
最一般的快速幂模板：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int mod = 1000000007; 5 ll quick_pow(ll x, ll y, ll c) { 6 ll ans = 1; 7 while (y) { 8 if (y & 1) { 9 ans = (ans * x) % c; 10 } 11 x = (x * x) % c; 12 y >>= 1; 13 } 14 return ans; 15 } 16 int main() { 17 ll x, y, ans; 18 cin >> x >> y; 19 ans = quick_pow(x, y, mod); 20 cout << ans << endl; 21 return 0; 22 }
然后是利用快速乘法优化一下，就是将quick_pow复制一下改名为quick_mul，把ans改为0，所有的乘号改为加号，用于把普通的大数a乘以大数a加速。不过一般用不到，先贴出来备忘，万一哪天用到了。
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int mod = 1000000007; 5 ll quick_mul(ll x, ll y, ll r) { 6 ll ans = 0; 7 while (y) { 8 if (y & 1) { 9 ans = (ans + x) % r; 10 } 11 x = (x + x) % r; 12 y >>= 1; 13 } 14 return ans; 15 } 16 ll quick_pow(ll x, ll y, ll r) { 17 ll ans = 1; 18 while (y) { 19 if (y & 1) { 20 ans = quick_mul(ans, x, r); 21 } 22 x = quick_mul(x, x, r);; 23 y >>= 1; 24 } 25 return ans; 26 } 27 int main() { 28 ll x, y, ans; 29 cin >> x >> y; 30 ans = quick_pow(x, y, mod); 31 cout << ans << endl; 32 return 0; 33 }
以前没有学过矩阵快速幂的模板，本着学习新知识，分析网上搜来的其他模板整理出一个自己惯用的模板的原则，写出了我很满意的第一版矩阵快速幂模板。
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int mod = 1000000007; 4 typedef long long ll; 5 struct Matrix { 6 ll a[2][2]; 7 Matrix() { 8 memset(a, 0, sizeof a); 9 } 10 }; 11 Matrix mul(Matrix A, Matrix B) { //返回矩阵A乘矩阵B 12 Matrix C; //C矩阵来存答案 13 for (int i = 0; i < 2; i++) { 14 for (int k = 0; k < 2; k++) { 15 for (int j = 0; j < 2; j++) { 16 C.a[i][j] += (A.a[i][k] % mod * B.a[k][j] % mod) % mod; 17 } 18 } 19 } 20 return C; //返回新矩阵 21 } 22 Matrix pow_mod(Matrix A, int n) { //返回矩阵A的n次方 23 Matrix B; //存储答案 24 for (int i = 0; i < 2; i++) { //初始化为单位矩阵 25 for (int j = 0; j < 2; j++) { 26 B.a[i][j] = (i == j ? 1 : 0); 27 } 28 } 29 while (n) { //同一般的快速幂 30 if (n & 1) { 31 B = mul(B, A); 32 } 33 A = mul(A, A); 34 n >>= 1; 35 } 36 return B; 37 } 38 int main() { 39 int n; 40 cin >> n; 41 Matrix A; 42 A.a[0][0] = A.a[0][1] = A.a[1][0] = 1; //初始化T矩阵 43 A = pow_mod(A, n - 1); 44 cout << (A.a[0][0] + A.a[0][1]) % mod << endl; 45 return 0; 46 }
结果提交后发现只有50分，查看样例后发现数据量太大时会超时，怀疑是调用c++结构体里的构造函数比较耗时。不过第一版模板的思路逻辑还是挺好的，适合用来复习矩阵快速幂算法。
然后AC的第二版代码，参考自https://blog.csdn.net/cplutoy/article/details/104268207
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int p = 1000000007; 4 typedef long long ll; 5 struct Mat { 6 ll m[2][2]; 7 } ans, base; //ans为答案矩阵， base为需要求次方的矩阵 8 Mat Mul(Mat x, Mat y) { //返回矩阵x乘以矩阵y的矩阵 9 Mat c; 10 for (int i = 0; i < 2; i++) { 11 for (int j = 0; j < 2; j++) { 12 c.m[i][j] = 0; 13 for (int k = 0; k < 2; k++) { 14 c.m[i][j] += (x.m[i][k] % p * y.m[k][j] % p) % p; 15 } 16 } 17 } 18 return c; 19 } 20 void quick_pow(ll n) { //求base的n-1次方 21 while (n) { //同一般的快速幂 22 if (n & 1) { 23 ans = Mul(ans, base); 24 } 25 base = Mul(base, base); 26 n >>= 1; 27 } 28 } 29 int main() { 30 ll n; 31 cin >> n; 32 ans.m[0][0] = 1, ans.m[0][1] = 0, ans.m[1][0] = 0, ans.m[1][1] = 1; //初始化ans为单位矩阵， 33 base.m[0][0] = 1, base.m[0][1] = 1, base.m[1][0] = 1, base.m[1][1] = 0; //将base初始化为要求n次幂的矩阵 34 quick_pow(n - 1); 35 cout << (ans.m[0][0] + ans.m[0][1]) % p << endl; 36 return 0; 37 }