P1217 [USACO1.5]回文质数 Prime Palindromes

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1217

题目分析：

　　看着很简单，以为用线性筛筛质数时间复杂度O(n)足够了，但是超时了

超时代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100000010;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n) { //线性筛筛质数 
    for (int i = 2; i <= n; i++) { 
        if (!st[i]) { 
            primes[cnt++] = i;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) { 
                break;
            }
        }
    }
}
bool check(int x) { //判断是否是回文数
    //思路：就是把一个数倒过来，再判断倒过来的数是否和原来的数相等 
    int y = x, num = 0; //int y = x, 防止x被改变
    while (y != 0) {
        num = num * 10 + y % 10; 
        y /= 10;
    } 
    if (num == x) {
        return true;
    } else {
        return false;
    }
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    get_primes(b);
    for (int i = a; i <= b; i++) {

        if (check(i) && !st[i]) { //是回文数且是质数的话 
            cout << i << endl;
        }
    }
    return 0;
}

然后就新学了一个数学知识：偶数位数回文数（除11）必定不是质数，所以只要运行到9999999 。因为10000000~99999999都是偶数位，

如果其中存在回文数的话，那么一定不是质数。100000000又不是回文数，所以只筛5 ~ 9999999中的质数就可以了。

这个数学性质就是：除 11 外的偶数位回文数，都能被 11 整除

证明：一个整数如果奇数位的数字和等于偶数位的数字和，则其能被11整除。如果一个回文数的长度为偶数，则显然有这个特征。

即：所有偶数位数的回文数都能被11整除。这样所有偶数位数的回文数就都不是质数了，因为有11这个约数了

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100000010;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n) { //线性筛筛质数 
    for (int i = 2; i <= n; i++) { 
        if (!st[i]) { 
            primes[cnt++] = i;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) { 
                break;
            }
        }
    }
}
bool check(int x) { //判断是否是回文数
    //思路：就是把一个数倒过来，再判断倒过来的数是否和原来的数相等 
    int y = x, num = 0; //int y = x, 防止x被改变
    while (y != 0) {
        num = num * 10 + y % 10; 
        y /= 10;
    } 
    if (num == x) {
        return true;
    } else {
        return false;
    }
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    if (b >= 10000000) { //注意此处 
        b = 9999999;
    } 
    get_primes(b);
    for (int i = a; i <= b; i++) {
        if (i >= 10000000) { //注意此处 
            break;
        }
        if (check(i) && !st[i]) { //是回文数且是质数的话 
            cout << i << endl;
        }
    }
    return 0;
}