完全背包问题

状态表示：\(f(i,j)\)表示从前\(i\)个物品中选，总体积不超过\(j\)的情况下的最大价值。

和01背包一样，完全背包问题的每种物品都有两种策略，但是也有不同点。

对第i件物品来说：

1. 不放第i件物品，那么f[i][v]= f[i- 1][v], 这步跟01背包是一样的。
2. 放第i件物品。这里的处理和01背包有所不同，因为01背包的每个物品只能选择一个，因此选择放第i件物品就意味着必须转移到f[i-1][v-w[i]]这个状态;但是完全背包不同，完全背包如果选择放第i件物品之后并不是转移到f[i-1][v-w[i]]，而是转移到f[i][v-w[i]]，这是因为每种物品可以放任意件(注意有容量的限制，因此还是有限的)，放了第i件物品后还可以继续放第i件物品，直到第二维的v-w[i]无法保持大于等于0为止。

状态转移：

\(f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])\)

const int N=1010;
int f[N][N];
int n,m;

int main()
{
    cin>>n>>m;

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int v,w;
        cin>>v>>w;
        for(int j=0;j<=m;j++)
            if(j<v) f[i][j]=f[i-1][j];
            else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w);
    }

    cout<<f[n][m]<<endl;
    //system("pause");
}

优化至一维

const int N=1010;
int f[N];
int n,m;

int main()
{
    cin>>n>>m;

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int v,w;
        cin>>v>>w;
        for(int j=v;j<=m;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
    }

    cout<<f[m]<<endl;
    //system("pause");
}