逆元的求法

乘法逆元

对于缩系中的元素，每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得ax≡1(mod n)
一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1，此时逆元唯一存在
逆元的含义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。

下面给出求逆元的几种方法：

1.扩展欧几里得

给定模数m，求a的逆相当于求解ax=1(mod m)
这个方程可以转化为ax-my=1
然后套用求二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd
检查gcd是否为1
gcd不为1则说明逆元不存在
若为1，则调整x0到0~m-1的范围中即可

ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
//求解ax+by=gcd(a, b)
//返回值为gcd(a, b)
{
    ll d = a;
    if(b)
    {
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else x = 1, y = 0;
    return d;
}
ll mod_inverse(ll a, ll m)
//求解a关于模上m的逆元
//返回-1表示逆元不存在
{
    ll x, y;
    ll d = extgcd(a, m, x, y);
    return d == 1 ? (m + x % m) % m : -1;
}

2.费马小定理

在模为素数p的情况下，有费马小定理
a^(p-1)=1（mod p）
那么a^(p-2)=a^-1(mod p)
也就是说a的逆元为a^(p-2)

而在模不为素数p的情况下，有欧拉定理
a^phi(m)=1（mod m） (a⊥m)
同理a^-1=a^(phi(m)-1)

因此逆元x便可以套用快速幂求得了x=a^(phi(m)-1)

但是似乎还有个问题？如何判断a是否有逆元呢? 

检验逆元的性质，看求出的幂值x与a相乘是否为1即可

PS:这种算法复杂度为O（log2N）在几次测试中，常数似乎较上种方法大

当p比较大的时候需要用快速幂求解

ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
        b /= 2;
        a = (a % m) * (a % m) % m;
    }
    ans %= m;
    return ans;
}
ll mod_inverse(ll a, ll m)//m是素数，a的逆元就是a的m-2次方
{
    return pow(a, m - 2, m);
}

3、逆元不存在，求解a/b mod k（前提：b | a）

逆元存在时，a / b mod k 等价于a * B mod k（B是b模上k的逆元）

但是逆元不存在时

通用公式：a / b mod k = a mod(k * b) / b

证明：

之前的费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求a和m互素（此处的a和m是之前ax = 1（mod m）中的a和m，在这里应该是这里的b和m互素），如果不互素逆元不存在。b*m很大的时候不适合该公式

逆元打表

有时会遇到这样一种问题，在模质数p下，求1~n逆元 n< p（这里为奇质数）。可以O(n)求出所有逆元，有一个递推式如下

                   

它的推导过程如下，设，那么

       

对上式两边同时除，进一步得到

       

再把和替换掉，最终得到

       

初始化，这样就可以通过递推法求出1->n模奇素数的所有逆元了。

另外有个结论模的所有逆元值对应中所有的数，比如，那么对应的逆元是。

 

void Init_inv(int n, int p)//p为素数
{
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        inv[i] = (ll)(p - p / i) * inv[p % i] % p;
}

https://blog.csdn.net/guhaiteng/article/details/52123385