线性时间选择算法

在一个由 n 个元素组成的集合中，第 i 个顺序统计量（order statistic）是该集合中第 i 小的元素。也就是说，最小值是第 1 个顺序统计量（i = 1），最大值是第 n 个顺序统计量（i = n）。

中位数（median）是它所在集合的中点元素。当 n 为奇数时，中位数是唯一的，出现在 i = (n + 1)/2 处。当 n 为偶数时，存在两个中位数，下中位数 i = n/2 和上中位数 i = n/2 + 1 处。因此，不考虑 n 的奇偶性，中位数总是出现在 i = (n+1)/2 的中位数处。本文中所用的中位数总是指下中位数。

• 选择最大值和最小值
• 选择中位数或任意位置值

选择最大值和最小值

对于确定最大值和最小值的问题，n-1 次比较是最优的。

对于同时获取最大值和最小值，至多需要 3(n/2) 次比较就足以同时找到。如果 n 是奇数，那么总共需要 3(n/2) 次比较。如果 n 是偶数，则可先做一次初始比较，接着做 3((n - 2)/2) 次比较。

  class Program
  {
    static void Main(string[] args)
    {
      int[] unsorted = 
        { 
          4, 1, 5, 2, 6, 3, 7, 9, 8, 0 
        };

      Console.WriteLine("Min: {0}", GetMinimum(unsorted));
      Console.WriteLine("Max: {0}", GetMaximum(unsorted));

      int min, max;
      GetBothMinMax(unsorted, out min, out max);
      Console.WriteLine("Min: {0}, Max: {1}", min, max);

      Console.Read();
    }

    static int GetMinimum(int[] a)
    {
      int min = a[0];

      // n-1 次比较
      for (int i = 1; i < a.Length; i++)
      {
        if (a[i] < min)
          min = a[i];
      }

      return min;
    }

    static int GetMaximum(int[] a)
    {
      int max = a[0];

      // n-1 次比较
      for (int i = 1; i < a.Length; i++)
      {
        if (a[i] > max)
          max = a[i];
      }

      return max;
    }

    static void GetBothMinMax(int[] a, out int min, out int max)
    {
      min = a[0];
      max = a[0];

      if (a.Length % 2 > 0) // n 为奇数
      {
        for (int i = 1; i < a.Length; i = i + 2)
        {
          if (a[i] < a[i + 1])
          {
            if (a[i] < min) min = a[i];
            if (a[i + 1] > max) max = a[i + 1];
          }
          else
          {
            if (a[i + 1] < min) min = a[i + 1];
            if (a[i] > max) max = a[i];
          }
        }
      }
      else                  // n 为偶数
      {
        for (int i = 1; i < a.Length - 1; i = i + 2)
        {
          if (a[i] < a[i + 1])
          {
            if (a[i] < min) min = a[i];
            if (a[i + 1] > max) max = a[i + 1];
          }
          else
          {
            if (a[i + 1] < min) min = a[i + 1];
            if (a[i] > max) max = a[i];
          }
        }

        if (a[a.Length - 1] < min) min = a[a.Length - 1];
        if (a[a.Length - 1] > max) max = a[a.Length - 1];
      }
    }
  }

选择中位数或任意位置值

RANDOMIZED-SELECT 算法采用快速排序算法的思想。区别是，快速排序会递归地处理划分的两边，而 RANDOMIZED-SELECT 则只处理一边。所以快速排序的期望运行时间是 Θ(n lg n)，而 RANDOMIZED-SELECT 的期望运行时间为 Θ(n)。

RANDOMIZED-SELECT 的最坏运行时间为 Θ(n²)，即使是要选择最小元素也是如此。因为它是随机化的，该算法的平均情况性能较好。

  public class QuickFindAlgorithm
  {
    public static void TestRandomizedQuickFind()
    {
      int[] unsorted = 
        { 
          4, 1, 5, 2, 6, 3, 7, 9, 8, 0 
        };

      Console.WriteLine("Find Value : {0}",
        RandomizedQuickFind(unsorted, 0, unsorted.Length - 1, 1));
      Console.WriteLine("Find Value : {0}",
        RandomizedQuickFind(unsorted, 0, unsorted.Length - 1, 2));
      Console.WriteLine("Find Value : {0}",
        RandomizedQuickFind(unsorted, 0, unsorted.Length - 1, 3));
      Console.WriteLine("Find Value : {0}",
        RandomizedQuickFind(unsorted, 0, unsorted.Length - 1, 4));
      Console.WriteLine("Find Value : {0}",
        RandomizedQuickFind(unsorted, 0, unsorted.Length - 1, 5));
      Console.WriteLine("Find Value : {0}",
        RandomizedQuickFind(unsorted, 0, unsorted.Length - 1, 6));
      Console.WriteLine("Find Value : {0}",
        RandomizedQuickFind(unsorted, 0, unsorted.Length - 1, 7));
      Console.WriteLine("Find Value : {0}",
        RandomizedQuickFind(unsorted, 0, unsorted.Length - 1, 8));
      Console.WriteLine("Find Value : {0}",
        RandomizedQuickFind(unsorted, 0, unsorted.Length - 1, 9));
      Console.WriteLine("Find Value : {0}",
        RandomizedQuickFind(unsorted, 0, unsorted.Length - 1, 10));

      int median = RandomizedQuickFind(unsorted, 
        0, unsorted.Length - 1, (unsorted.Length + 1) / 2);
      Console.WriteLine("Find Median : {0}", median);

      Console.Read();
    }

    static int RandomizedQuickFind(int[] a, int p, int r, int i)
    {
      if (p == r)
        return a[p];

      int q = RandomizedPartition(a, p, r);
      int k = q - p + 1;

      if (i == k)     // the pivot value is the answer
      {
        return a[q];
      }
      else if (i < k) // i is in left side
      {
        return RandomizedQuickFind(a, p, q - 1, i);
      }
      else            // i is in right side
      {
        return RandomizedQuickFind(a, q + 1, r, i - k);
      }
    }

    static void RandomizedQuickSort(int[] unsorted, int left, int right)
    {
      if (!(left < right)) return;

      int pivotIndex = RandomizedPartition(unsorted, left, right);

      RandomizedQuickSort(unsorted, left, pivotIndex - 1);
      RandomizedQuickSort(unsorted, pivotIndex + 1, right);
    }

    static int RandomizedPartition(int[] unsorted, int left, int right)
    {
      int i = random.Next(left, right);
      Swap(unsorted, i, right);
      return Partition(unsorted, left, right);
    }

    static int Partition(int[] unsorted, int left, int right)
    {
      int pivotIndex = right;

      // 哨兵
      int sentinel = unsorted[right];

      // 子数组长度为 right - left + 1
      int i = left - 1;
      for (int j = left; j <= right - 1; j++)
      {
        if (unsorted[j] <= sentinel)
        {
          i++;
          Swap(unsorted, i, j);
        }
      }

      Swap(unsorted, i + 1, pivotIndex);

      return i + 1;
    }

    static void Swap(int[] unsorted, int i, int j)
    {
      int temp = unsorted[i];
      unsorted[i] = unsorted[j];
      unsorted[j] = temp;
    }

    static Random random = new Random(new Guid().GetHashCode());
  }

本篇文章《线性时间选择算法》由 Dennis Gao 发表自博客园，任何未经作者同意的爬虫或人为转载均为耍流氓。