alpha-beta filter

原理介绍：

alpha-beta滤波是一种可用于状态估计、数据平滑的滤波器，如果对kalman滤波有了解，就会发现ab滤波的形式和kalman相近，但是其最突出的优点是它不依赖系统的具体模型，因此使用起来更简单。

αβ滤波的αβ是指滤波器中两个可以调整的参数。

滤波方程：

假设一个二阶状态模型，比如车辆的速度v、位置p，光测量与一阶对应，即位置p。

如果滤波周期△T比较小，假设速度v这段时间内保持恒定（加速度为或者变化缓慢），与kalman滤波的一步预测类似，我们可以通过如下方程预测下个时刻系统的位置：

 因为假设速度是恒定值，下个时刻的速度与上一个时刻相同：

 由于方程中并没有考虑噪声和系统的其它动态特性，因此实际的测量值会与上面的预测值不一样，两者之间存在误差r，我们称之为残差或新息。

 αβ滤波采用选定的α和β常数（滤波器得到其名称），使用偏差r的α倍来矫正位置估计，并使用β乘以偏差r来矫正速度估计，使用ΔT来归一化β的大小。

 可以将上述的矫正视为沿着梯度下降方向的一小步，随着不断的调整，误差逐渐减小或者消除。

为了保证系统的稳定性，α和β的值必须是一个正值且很小，一般情况下需要满足下式：

 一般通过实验来调整α和β的值，我觉得这是使用 αβ滤波滤波最大的缺点，滤波性能的好坏非常依赖于参数，好在 αβ滤波稳定性比较好，虽然有时得不到很好滤波效果，但是不至于导致发散。

α和β对滤波器的影响如下，还是比较好掌握的，一般花一些时间调试就可以得到比较好的参数

α和β越大，滤波具有更快的动态性能，但是噪声也会加大。α和β越小，噪声越小，滤波后的值更平滑，但是动态性能差。因此需要在动态性能和滤波噪声之间做好平衡。

 上面三幅图中，蓝色的曲线是原始数据，α和β取不同的值效果会发生明显的变化。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
 
int main()
{
        float dt = 0.5;
        float xk_1 = 0, vk_1 = 0, a = 0.85, b = 0.005;
 
        float xk, vk, rk;
        float xm;
 
        while( 1 )
        {
                xm = rand() % 100;// input signal
 
                xk = xk_1 + ( vk_1 * dt );
                vk = vk_1;
 
                rk = xm - xk;
 
                xk += a * rk;
                vk += ( b * rk ) / dt;
 
                xk_1 = xk;
                vk_1 = vk;
 
                printf( "%f 	 %f
", xm, xk_1 );
                sleep( 1 );
        }
}

滤波参数的选择

如果使用采样间隔T、系统噪声方差、测量噪声方差来计算α和β，则α-β滤波器就成为了kalman滤波器。

滤波器的其它变种

Alpha filter ：α滤波器

α滤波器只有一个状态量：

它最优的参数可以通过下面的公式计算

这种滤波本质与滑动平均滤波、低通滤波相同。

Alpha beta gamma filter ： αβγ滤波

当系统的二阶常量变化很快时（加速度很大），可以使用 αβγ滤波，它是对 αβ滤波的一种扩展。在位置x、速度v的基础上引入加速度a，γ用于对加速度进行修正，以下是αβγ滤波的方程。

最优的参数计算方法如下。 

类似，可以将滤波器扩展到更高的阶数，但是大多数高阶系统往往在多个状态之间具有显着的相互作用（不是纯粹的积分环节），此时如果依然将系统近似为积分链就不太合适了。

 wiki： https://en.wikipedia.org/wiki/Alpha_beta_filter