POJ 1061

#include<iostream>
//#define int unsigned
#define unsigned long long
using namespace std;

struct node
{
    long x;
    long y;
    unsigned a;
};

node ans;
node euclid(unsigned a,unsigned b);
unsigned _mod(unsigned a,unsigned b);

int main()
{
    //freopen("acm.acm","r",stdin);
    unsigned x;
    unsigned y;
    unsigned m;
    unsigned n;
    unsigned l;
    unsigned a;
    unsigned b;
    cin>>x>>y>>m>>n>>l;
    b = (y - x);
    a = (m - n);
    ans = euclid(a,l);
    if(_mod(b,ans.a) == 0)
        cout<<_mod(ans.x * (b / ans.a),l / ans.a)<<endl;
    else
        cout<<"Impossible"<<endl;
}
unsigned _mod(unsigned a,unsigned b)
{
    return (a % b + b) % b;
}
node euclid(unsigned a,unsigned b)
{
    node res;
    if(b == 0)
    {
        res.x = 1;
        res.y = 0;
        res.a = a;
        return res;
    }
    else
    {
        node temp;
        temp = euclid(b,_mod(a,b));
        res.x = temp.y;
        res.y = temp.x - (a/b)*temp.y;
        res.a = temp.a;
    }
    return res;
}





















/*

  求解ax≡b(mod n)的原理：

对于方程ax≡b(mod n)，存在ax + by = gcd(a,b)，x，y是整数。而ax≡b(mod n)的解可以由x，y来堆砌。具体做法，见下面的MLES算法。

第一个问题：求解gcd(a,b)

定理一：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

实现：古老的欧几里德算法

int Euclid(int a,int b)
{
if(b == 0)
      return a;
else
      return Euclid(b,mod(a,b));
}

附：取模运算

int mod(int a,int b)
{
if(a >= 0)
      return a % b;
else
      return a % b + b;
}

第二个问题：求解ax + by = gcd(a,b)

定理二：gcd(b,a mod b) = b * x' + (a mod b) * y'

                                           = b * x' + (a - a / b * b) * y'

                                           = a * y' + b * (x' - a / b *      y')

                                           = a * x + b * y

                  则：x = y'

                         y = x' - a / b * y'

实现：

triple Extended_Euclid(int a,int b)
{
triple result;
if(b == 0)
{
      result.d = a;
      result.x = 1;
      result.y = 0;
}
else
{
      triple ee = Extended_Euclid(b,mod(a,b));
      result.d = ee.d;
      result.x = ee.y;
      result.y = ee.x - (a/b)*ee.y;
}
return result;
}

附：三元组triple的定义

struct triple
{
int d,x,y;
};

第三个问题：求解ax≡b(mod n)

实现：由x，y堆砌方程的解

int MLES(int a,int b,int n)
{
    triple ee = Extended_Euclid(a,n);
    if(mod(b,ee.d) == 0)
        return mod((ee.x * (b / ee.d)),n / ee.d);
else
     return -1;
}//返回-1为无解，否则返回的是方程的最小解

说明：ax≡b(mod n)解的个数：

           如果ee.d 整除 b 则有ee.d个解；

           如果ee.d 不能整除 b 则无解。


*/

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