华电北风吹
日期：2015/12/12
朴素贝叶斯算法和高斯判别分析一样同属于生成模型。但朴素贝叶斯算法须要特征条件独立性如果，即样本各个特征之间相互独立。
一、朴素贝叶斯模型
朴素贝叶斯算法通过训练数据集学习联合概率分布p(x,y),其中x=(x1,x2,...,xn)∈Rn,y∈R。详细的对于K分类问题就是须要学习一个类别的先验概率分布p(y=ck),k=1,2,...,K和每一个类别下的条件概率分布(如式1-1)
p(x|y)=p(x1,x2,...,xn|y)(1-1)
因为朴素贝叶斯算法没有如果特征的分布，因此须要将每一个特征量化为离散型变量，然后学习各个特征水平下的条件概率。
如果各个特征xi被分别量化为Si个水平，那么共同拥有K+K∏ni=1Si个须要学习的參数。
可是，为了使朴素贝叶斯算法变得简单点—主要是降低參数个数，就强加了一个条件概率分布的独立性如果(详细如式1-2)
p(x|y)=p(x1,x2,...,xn|y)=∏ni=1P(xi|y)(1-2)
这样须要学习的參数个数就变为K+K∑ni=1Si个，大大的简化了模型。
二、朴素贝叶斯參数预计
在条件独立性如果下，贝叶斯模型的參数学习就简化为类别先验概率p(y=ck)和条件概率p(xi|y)的学习。
1、极大似然预计
对于训练数据集(x(i),y(i)),x(i)∈Rn,y(i)∈R，似然函数例如以下,
L(ϕy,ϕx|y)=∏mi=1p(x(i),y(i))=∏mi=1p(y(i))∏nj=1p(x(i)j|y(i))(2-1)
结合∑yϕy=1以及∑Sip(xi|y)=1,能够easy得到下式(简单的求偏导就可以，两式均是)：
ϕy=k=∑mi=11{y(i)=k}m(2-2)
ϕxi=j|y=k=∑mi=11{y(i)=k⋂xi=j}∑mi=11{y(i)=k}(2-3)
2、古德-图灵预计
主要用于解决统计样本不足的概率预计问题，主要思想是在统计中相信可靠的统计数据，而对不可信的统计数据打折扣的一种概率预计方法。同一时候将折扣出来的那一小部分概率给予为看见的事件。
3、贝叶斯预计(拉普拉斯光滑)
在公式2-2和2-3中。会出现分子分母同为0的情况。解决这样的情况的方案例如以下：
ϕy=k=∑mi=11{y(i)=k}+λm+Kλ(2-4)
ϕxi=j|y=k=∑mi=11{y(i)=k⋂xi=j}+λ∑mi=11{y(i)=k}+Sjλ(2-5)
当中λ≥0.一般取λ=1。
三、朴素贝叶斯决策方法—最大后验概率
对于測试数据x∈Rn，朴素贝叶斯模型採用贝叶斯规则决策。详细表述例如以下：
p(y|x)=argmaxkp(y=k)p(x|y=k)
採用后验概率最大的类别作为模型输出类别。
如今细致想想感觉朴素贝叶斯跟k-means逻辑上的思路还是比較接近的。