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  • [bzoj2038][2009国家集训队]小Z的袜子(hose)——莫队算法

    Brief Description

    给定一个序列,您需要处理m个询问,每个询问形如[l,r],您需要回答在区间[l,r]中任意选取两个数相同的概率。

    Algorithm Design

    莫队算法入门题目。
    这篇博客讲的不错
    对于L,R的询问。设袜子的个数为(cnt_i)
    那么答案即为$$frac{sum_i C_{cnt}^2}{frac{(R-L+1)(R-L)}{2}}$$
    其中(C_n^m)为组合数。
    化简得:$$frac{sum_i cnt^2 -(R-L+1)}{(R-L+1)
    (R-L)}$$
    所以这道题目的关键是求一个区间内每种颜色数目的平方和。
    如果你知道了[L,R]的答案。你可以在O(1)的时间下得到[L,R-1]和[L,R+1]和[L-1,R]和[L+1,R]的答案的话。就可以使用莫队算法。
    对于莫队算法我感觉就是暴力。只是预先知道了所有的询问。可以合理的组织计算每个询问的顺序以此来降低复杂度。要知道我们算完[L,R]的答案后现在要算[L',R']的答案。由于可以在O(1)的时间下得到[L,R-1]和[L,R+1]和[L-1,R]和[L+1,R]的答案.所以计算[L',R']的答案花的时间为|L-L'|+|R-R'|。如果把询问[L,R]看做平面上的点a(L,R).询问[L',R']看做点b(L',R')的话。那么时间开销就为两点的曼哈顿距离。所以对于每个询问看做一个点。我们要按一定顺序计算每个值。那开销就为曼哈顿距离的和。要计算到每个点。那么路径至少是一棵树。所以问题就变成了求二维平面的最小曼哈顿距离生成树。
    关于二维平面最小曼哈顿距离生成树。感兴趣的可以参考胡泽聪大佬的这篇文章

    这样只要顺着树边计算一次就ok了。可以证明时间复杂度为(n* sqrt n)

    但是这种方法编程复杂度稍微高了一点。所以有一个比较优雅的替代品。那就是先对序列分块。然后对于所有询问按照L所在块的大小排序。如果一样再按照R排序。然后按照排序后的顺序计算。为什么这样计算就可以降低复杂度呢。

    一、i与i+1在同一块内,r单调递增,所以r是O(n)的。由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5。
    二、i与i+1跨越一块,r最多变化n,由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5
    三、i与i+1在同一块内时变化不超过n^0.5,跨越一块也不会超过2*n^0.5,不妨看作是n^0.5。由于有n个数,所以时间复杂度是n^1.5
    于是就变成了(Theta(n^{1.5}))了。

    Code

    #include <algorithm>
    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    const int maxn = 50010;
    #define ll long long
    ll num[maxn], up[maxn], dw[maxn], ans, aa, bb, cc;
    int col[maxn], pos[maxn];
    struct qnode {
      int l, r, id;
    } qu[maxn];
    bool cmp(qnode a, qnode b) {
      if (pos[a.l] == pos[b.l])
        return a.r < b.r;
      else
        return pos[a.l] < pos[b.l];
    }
    ll gcd(ll x, ll y) {
      ll tp;
      while ((tp = x % y)) {
        x = y;
        y = tp;
      }
      return y;
    }
    void update(int x, int d) {
      ans -= num[col[x]] * num[col[x]];
      num[col[x]] += d;
      ans += num[col[x]] * num[col[x]];
    }
    int main() {
      int n, m, bk, pl, pr, id;
    #ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("input", "r", stdin);
    #endif
      scanf("%d %d", &n, &m);
      memset(num, 0, sizeof(num));
      bk = ceil(sqrt(1.0 * n));
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &col[i]);
        pos[i] = (i - 1) / bk;
      }
      for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d %d", &qu[i].l, &qu[i].r);
        qu[i].id = i;
      }
      std::sort(qu, qu + m, cmp);
      pl = 1, pr = 0;
      ans = 0;
      for (int i = 0; i < m; i++) {
        id = qu[i].id;
        if (qu[i].l == qu[i].r) {
          up[id] = 0, dw[id] = 1;
          continue;
        }
        if (pr < qu[i].r) {
          for (int j = pr + 1; j <= qu[i].r; j++)
            update(j, 1);
        } else {
          for (int j = pr; j > qu[i].r; j--)
            update(j, -1);
        }
        pr = qu[i].r;
        if (pl < qu[i].l) {
          for (int j = pl; j < qu[i].l; j++)
            update(j, -1);
        } else {
          for (int j = pl - 1; j >= qu[i].l; j--)
            update(j, 1);
        }
        pl = qu[i].l;
        aa = ans - qu[i].r + qu[i].l - 1;
        bb = (ll)(qu[i].r - qu[i].l + 1) * (qu[i].r - qu[i].l);
        cc = gcd(aa, bb);
        aa /= cc, bb /= cc;
        up[id] = aa, dw[id] = bb;
      }
      for (int i = 0; i < m; i++)
        printf("%lld/%lld
    ", up[i], dw[i]);
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/gengchen/p/6533141.html
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