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  • 虚树

    虚树

    什么是虚树？？？！！！

    一听这名字就感觉是个玄学东西，第一次听到这个名词还是在任轩笛大佬讲课时听到的。。。当时本来就快在坐飞机了，然后看到这个名词后，我想我应该真的起飞了。。。

    然后又是凯爷图论专讲时听了虚树（不要问我为什么在图论里。。。），感觉好像有点头绪，以为第二天会考虚树，然后就恶补，然而还是花了好久才懂了。。。

    那么什么是虚树，是个玄学东西吗？

    虚树也是一种树吧（虽然网上很多人说这不是树，但我觉得不应该因为叫虚树就歧视别人。。。），对于一棵很大的树，我们直接在上面进行操作时（一般是树形动规）往往复杂度会很爆炸，然而我们会发现询问的点其实很少，这些点我们称之为关键点，发现大部分不查询的点其实都是没有用的，我们只需要根据关键点建立一棵更小的树，然后只用维护关键点的信息，然后在虚树上DP就很妙妙了。

    为了和谐，我们来直观地感受一下...比如这里我生成了一棵20个点的树。蓝色的是询问点。红色点就会在虚树上。

     

    imageimage

    观察这些虚树上的点，我们发现我们似乎是需要把询问点按dfs序排序一下，然后把相邻点取个lca然后乱搞一下？

    听起来好像很有道理，不过这TM能写？

    基于这样的想法，我们来考虑另外一种做法，我们用一个栈来维护虚树的“当前这一坨东西”...例如我们在栈中加入了18。然后接下来打算加入一个16。

    我们现在发现这个栈顶的lca，也就是2，是有用的，那么我们现在就要把18弹掉，换成2，然后再扔进去一个16。

    接下来我们要加一个20，那么它与栈顶的lca为2。我们就考虑16，16是没用的，把它弹掉，然后看见2，正好就是lca，就保留。

    类似这样我们可以发现开始把所有询问点加入虚树后，我们把询问点按dfs序排个序，这时栈里面应该维护一个奇怪的玩意，先计算一个新加的点与栈顶的lca，然后如果一个栈里的东西一直都“没用”，也就是深度比这个lca来得大，就一直弹出栈顶，最后如果栈顶不是lca，就把lca加入栈，并且加入虚树，然后再加入这个点。

    这样我们就可以求出虚树啦，同时我们也可以得到虚树上每一个点的父亲节点。

    当然上面只是让你对虚树有个大致了解，不过要是你没有大致了解的话，下面可能有点伤。。。（万一你是大佬。。。当我没说）

    我们以一道题为例：

    题目传送门

    首先看到这道题我们会想到每次O(n)去DP，发现对于一个非关键点我们有两种选择，一个是将其与祖先节点的路径上的最短边断了，或者将子树中的所有关键点断了，对于关键点，显然你只能将其祖先节点的路径上的最短边断了。总的复杂度O（n*q），然后我们考虑用虚树去优化。

    我们需要维护的就是每个节点到根节点的路径上的最短边，然后建立虚树，这个信息在虚树上仍可以使用。

    怎么构建虚树

    维护一个栈，表示从根到栈顶元素的这条链
    我们新加入一个节点记为x，链的末端，即栈顶，为p，lca为lca(x,p)，
    有两种情况:
    　　1.p和x分立在lca的两棵子树下.
    　　2.lca是p.
    　　为什么lca不能是x?
    　　 因为如果lca是x,说明dfn[lca]=dfn[x]<dfn[p],而我们是按照dfs序号遍历的,于是dfn[p]<dfn[x],矛盾.)
    对于第二种情况,直接在栈中插入节点x即可,不要连接任何边(会在之后构建时才连边).
    对于第一种情况,要仔细分析.
    我们是按照dfn遍历的(因为很重要所以多说几遍......),有dfn[x]>dfn[p]>dfn[lca].
    这说明什么呢? 说明一件很重要的事:我们已经把lca所引领的子树中,p所在的子树全部遍历完了!
    　　简略的证明:如果没有遍历完,那么肯定有一个未加入的点h,满足dfn[h]<< dfn[x],
    　　　　　　　 我们按照dfs序号递增顺序遍历的话,应该把h加进来了才能考虑x.
    这样,我们就直接构建lca引领的,p所在的那个子树. 我们在退栈的时候构建子树.
    p所在的子树如果还有其它部分,它一定在之前就构建好了(所有退栈的点都已经被正确地连入树中了),就剩那条链.
    如何正确地把p到lca那部分连进去呢?
    设栈顶的节点为p,栈顶第二个节点为q.
    重复以下操作:
    　　如果dfn[q]>dfn[lca],可以直接连边q->p,然后退一次栈.
    　　如果dfn[q]=dfn[lca],说明q=lca,直接连边lca->p,将x弹出，此时子树已经构建完毕.
    　　如果dfn[q]< dfn[lca],说明lca被p与q夹在中间,此时连边lca->p,退一次栈,再把lca压入栈.此时子树构建完毕
    最后,为了维护dfs链,要把x压入栈. 整个过程就是这样，然后我们就可以树上DP了。

    最后再放上一张动图，然你更好地理解虚树：

    这里再提一下每次重构虚树的小优化我们只需要在DP时，在访问完一个节点的所有出边后，把head数组清零即可

     【代码实现】

      1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<cctype>
  5 #include<queue>
  6 using namespace std;
  7 void read(int &v)
  8 {
  9     int f;char ch;
 10     while(!isdigit(ch=getchar())&&ch!='-'); ch=='-'?(f=-1,v=0):(f=1,v=ch-'0');
 11     while(isdigit(ch=getchar())) v=v*10+ch-'0';v=v*f;
 12 }
 13 const int N=250005;
 14 const long long INF=1e12+7;
 15 struct sd{
 16     int next,to,w;
 17 }edge[2][N<<1];
 18 int head[2][N],dep[N],dfn[N],stk[N],pos[N],up[N][21],n,m,cnt;
 19 long long dp[N],exp[N];
 20 bool cmp(int a,int b) {return dfn[a]<dfn[b];}
 21 void add_edge(int from,int to,int w,int opt)
 22 {
 23     if(from==to) return;
 24     edge[opt][++cnt].next=head[opt][from];
 25     edge[opt][cnt].to=to;
 26     edge[opt][cnt].w=w;
 27     head[opt][from]=cnt;
 28 }
 29 void pre_work(int v,int ff)
 30 {
 31     dfn[v]=++cnt,up[v][0]=ff,dep[v]=dep[ff]+1;
 32     for(int i=1;i<=20;i++) up[v][i]=up[up[v][i-1]][i-1];
 33     for(int i=head[0][v];i;i=edge[0][i].next)
 34     {
 35         int to=edge[0][i].to;
 36         if(to!=ff) 
 37         exp[to]=min(exp[v],(long long)edge[0][i].w),pre_work(to,v);
 38     }
 39 }
 40 int LCA(int a,int b)
 41 {
 42     if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
 43     int len=dep[a]-dep[b];
 44     for(int i=20;i>=0;i--) if(len&(1<<i)) a=up[a][i];
 45     if(a==b) return a;
 46     for(int i=20;i>=0;i--) if(up[a][i]!=up[b][i]) a=up[a][i],b=up[b][i];
 47     return up[a][0];
 48 }
 49 void build(int mx)
 50 {
 51     cnt=0;
 52     int top=0;
 53     sort(pos+1,pos+1+mx,cmp);
 54     int tot=0;
 55     pos[++tot]=pos[1];
 56     for(int i=2;i<=mx;i++)
 57     if(LCA(pos[tot],pos[i])!=pos[tot]) pos[++tot]=pos[i];
 58     stk[++top]=1;
 59     for(int i=1;i<=tot;i++)
 60     {
 61         int now=pos[i],lca=LCA(now,stk[top]);
 62         while(1)
 63         {
 64             if(dep[lca]>=dep[stk[top-1]])
 65             {
 66                 add_edge(lca,stk[top--],0,1);
 67                 if(stk[top]!=lca) stk[++top]=lca;
 68                 break;
 69             }
 70             add_edge(stk[top-1],stk[top],0,1),top--;
 71         }
 72         if(stk[top]!=now)stk[++top]=now;
 73     }
 74     while(--top) add_edge(stk[top],stk[top+1],0,1);
 75 }
 76 void DP(int v)
 77 {
 78     long long tmp=0;dp[v]=exp[v];
 79     for(int i=head[1][v];i;i=edge[1][i].next)
 80     {
 81         int to=edge[1][i].to;
 82         DP(to);
 83         tmp+=dp[to];
 84     }
 85     head[1][v]=0;
 86     if(tmp) dp[v]=min(dp[v],tmp);
 87 }
 88 int main()
 89 {
 90     int a,b,c,k;
 91     read(n);
 92     for(int i=1;i<n;i++)
 93     read(a),read(b),read(c),add_edge(a,b,c,0),add_edge(b,a,c,0);
 94     cnt=0,exp[1]=INF,pre_work(1,0);
 95     read(m);
 96     for(int i=1;i<=m;i++)
 97     {
 98         read(k);
 99         for(int j=1;j<=k;j++)
100         read(pos[j]);
101         build(k);
102         DP(1);
103         printf("%lld
",dp[1]);
104     }
105     return 0;
106 }
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