P4454 [CQOI2018]破解DH协议

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这题并不难只是需要把题读懂 — By ShadderLeave

一句话题意

给定两个数 \(p\)和\(g\)，有\(t\)组询问，每组询问给出\(A\)和\(B\)

其中 A = \(g^a \bmod p\) B = \(g^b \bmod p\)

问你\(g^{ab} \bmod p\)是多少。

初步解法就是用BSGS求出每个\(a\),\(b\)在用快速幂算出\(g^{ab} \bmod p\)

可实际上你就会发现只要算一个就行。

算出\(a\)直接求出\(B^a \bmod p\)就是答案

然鹅，就这样交上去你就会狂TLE

所以，我们只能再考虑优化。

每次询问，我们都会把map清空，并重新储存，但这样会浪费很多时间，那我们从这开始优化

我们要求的是这个柿子 \(g^a \equiv A\)

我们利用BSGS的思想可以把它化为 \(g^{kt+b} \equiv A\)

也就是\(g^{kt} \equiv A \times g^B\)

发现方程右边会随A的取值发生变化，但左边的g和t确定了，那么值就不会变。

所以，我们可以预先处理出\(g^{kt}\)并把他插入map中。

对于每组询问，枚举\(A \times g^j\) 看在map中是否出现过。

如果出现过，答案就是 map中的存的幂指数 - \(j\)

但有一个很大的问题就是：

卡 。。。常 。。。。

卡。。。。。常。。。。

卡。。。。。。常。。。。。

毒瘤出题人nmsl

所以我们只能少用快速幂，再求\(g^{kt}\)以及\(g^j\)只能用累乘的方法来求。

出题人我*****

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
int g,t,p,A,B;
map<LL,int> hash;
inline LL read()
{
	LL s = 0, w = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s= s * 10+ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
LL ksm(LL a,LL b)
{
	LL res = 1;
	for(; b; b >>= 1)
	{
		if(b & 1) res =res * a % p;
		a = a * a % p;
	}
	return res;
}
void YYCH()//预处理出g^kt
{
    LL t = sqrt(p) + 1;
    LL base = ksm(g,t); LL tmp = 1;
    for(int i = 1; i <= t; i++)
    {
        tmp = tmp * base % p;//累乘避免被卡常
    	hash[tmp] = i * t;
    }
}
LL BSGS(int k)
{
	LL t = sqrt(p) + 1; LL tmp = k;
	if(hash[tmp]) return hash[tmp];
	for(int i = 1; i < t; i++)//枚举A*g^j
	{
		tmp = tmp * g % p;
		if(hash[tmp]) return hash[tmp] - i;
	}
//	return -1;
}
int main()
{
	g = read(); p = read(); t = read(); YYCH();
	while(t--)
	{
		A = read(); B = read();
		printf("%lld\n",ksm(B,BSGS(A)));
	}
	return 0;
}

我拿出我珍藏多年的卡常火车头，出题人（17张牌你能秒杀我）你要是能卡住我，我当场把屏幕吃掉。

呜呜，我错了，放过我吧，不要再卡我了。