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  • 整除分块

    引理

    给定正整数 (i)(n) 满足 (i<=n),使得 $nover i $ = (n over x) 成立的最大的 (x)(n over {n over i}).(除法为下取整)


    证明

    • 1.肯定存在 x 使 (n over i) = (n over x)

    ​ 因为 这里的除法是向下取整,会有精度损失。

    • 2. (x) 的上界为 (nover {n over i})

    ​首先由除法的性质可得:

    ({n over x} imes x leq n)

    ​然后又因为 (n over i) = (n over x), 可得:

    ({nover i} imes x leq n)

    ​移项可得:

    (x leq {n over {n over i}})

    -3. x 的下界为 ({n over {n over i}} -1)

    首先因为 (x) 是最大的满足条件的数,所以:

    ({nover x} < {n over {x+1}})

    于是 :

    ({n over i} < {n over {x+1}})

    移项的得 :

    ((x+1) imes {n over{i}} < n)

    也就是:

    ((x+1) < {n over {nover i}})

    左边剩下一个 (x) 可得

    (x < {n over {n over i}} - 1)


    综上 ({nover {nover i}}-1 < x leq {n over {nover i}})

    所以 (x) 只能等于 (n over {n over i})

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/genshy/p/13606436.html
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