P1447 [NOI2010]能量采集

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首先我们要求的是这个柿子：

(displaystyle sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{m} 2 imes gcd(i,j) - 1)

把 (2) 和 (1) 提出来，变成:

(displaystyle (2 imes sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{m} gcd(i.j)) - n imes m)

我们主要解决得是这个柿子:

(displaystyle sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m} gcd(i,j))

接下来就到了我们的颓柿子的时间啦。

先枚举一个 (d) ，变成

(displaystyle sum_{d = 1}^{min(n,m)} dsum_{i = 1}^{n} sum_{j=1}^{m} [gcd(i,j) == d])

把后面的那两个求和提一个 (d) 变成:

(displaystylesum_{d =1}^{min(n,m)} d sum_{i=1}^{nover d}sum_{j=1}^{mover d} [gcd(i,j) == 1])

然后，我们可以有莫比乌斯反演得到一个柿子:

([gcd(i,j) == 1] = displaystylesum_{dmid i,d mid j} mu(d))

把这个柿子带回去可得

(displaystylesum_{d=1}^{min(n,m)} d sum_{i=1}^{nover d}sum_{j=1}^{mover d} sum_{pmid i,pmid j}mu(p))

交换一下求和顺序,先枚举 (p) 可得: (注意枚举(p) 的上限是 (min(n,m) over d) ，交换一下求和顺序，上限也要改变):

(displaystylesum_{d=1}^{min(n,m)}d sum_{p=1}^{min({nover d},{mover d})}mu(p) sum_{i=1}^{nover d} [pmid i] sum_{j=1}^{mover d} [pmid j])

因为 (1- {nover d}) 中能被 (p) 整除的数有 (n over {dp}) 个，所以后面的枚举 (i) 和 (j) 的柿子可以改变一下，变成:

(displaystylesum_{d=1}^{min(n,m)}dsum_{p=1}^{min({nover d},{mover d})}mu(p) sum_{i=1}^{nover dp} sum_{j=1}^{mover dp})

也就是 ：

(displaystyle sum_{d=1}^{min(n,m)} d sum_{p=1}^{min({nover d},{m over d})}mu(p) lfloor {nover dp} floorlfloor{m over dp} floor)

运用一个技巧 ，设 (Q = d imes p) ，则 (p = {Q over d})，把所有的 (p) 都替换掉，改为枚举 (Q)，变成:

(displaystylesum_{d=1}^{min(n,m)}d sum_{Q=1}^{min(n,m)}mu({Qover d}) lfloor {n over Q} floorlfloor{mover Q} floor)

至于为什么第二个求和的上限为 (min(n,m)),因为 (p in{min({nover d},{mover d})}) 则 (Q) 的取值范围要在 (p) 的基础上乘个 (d) 变成 (min(n,m))

交换一下枚举顺序，先枚举一下 (Q) 变为

(displaystylesum_{Q=1}^{min(n,m)}sum_{dmid Q}^{min(n,m)} d imes mu({Q over d}) lfloor {n over Q} floor lfloor {m over Q} floor)

因为 (mu) 的定义域是整数所以 (Qover d) 也需要是整数，也就是 (Qmid d)

后面 可以看成是：

(displaystylesum_{Q=1}^{min(n,m)}sum_{d mid Q}^{min(n,m)}id(d) * mu({Qover d})lfloor{nover Q} floorlfloor{mover Q} floor)

又因为 (id * mu = phi), 后面的可以写成卷积的形式，变成:

(displaystylesum_{Q=1}^{min(n,m)} phi(Q) lfloor{n over Q} floorlfloor{m over Q} floor)

这个我们就可以做到 O(n) 的回答了。

先预处理出 (phi) 函数的值，然后根据上面的柿子计算出答案就可以啦；

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5+10;
int n,m,ans,tot,phi[N],prime[N];
bool check[N];
inline int read()
{
	int s = 0,w = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
void YYCH()//预处理出φ函数的值
{
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= N-5; i++)
	{
		if(!check[i])
		{
			prime[++tot] = i;
			phi[i] = i-1;
		}
		for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= N-5; j++)
		{
			check[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)
			{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			else
			{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
			}
		}
	}
}
int calc(int d)
{
	return (n/d) * (m/d);
}
signed main()
{
	n = read(); m = read();
	if(n > m) swap(n,m); YYCH();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		ans += phi[i] * calc(i);//计算答案
	}
	ans = ans * 2 - n * m;
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

Update： 总算写完了这一大堆柿子，累死我了