多项式学习笔记（二） NTT

前置芝士：

原根：满足 (g^{varphi(p)-1} equiv 1 pmod p) ， 且 (g^0,g^1,g^2...g^{varphi(p)-1}) 互不相同，就称 (g) 为 (p) 的一个原根

NTT

在FFT的时候，我们一个比较大的问题就是精度处理。如果说题目要求系数对大质数取模的话，那么FFT可能在计算中溢出，这时候我们就需要另外一种算法 (NTT) (其实是 FFT 的变形)。

在FFT 中，我们单位根满足以下性质：

1. (w_{n}^{0} = w_{n}^{n} = 1)
2. (w_{n}^{0},w_{n}^{1},w_{n}^{2}....w_{n}^{n}) 互不相同。
3. (w_{n}^{i} = w_{2*n}^{2*i})
4. (w_{n}^{k+{nover 2}} = -w_{n}^{k})
5. (displaystylesum_{i=0}^{n-1} (w_{n}^{k})^{i} = 0) （(k mid n)）

然后我们找到了单位根一个很好的替代品原根，我们设 (w_{n}^{i} = (g^{p-1over n})^i) 。带入之后可以发现它是满足以上性质的。

性质1： (w_{n}^{0} = w_{n}^{n} = 1)

很简单， (w_{n}^{0} = (g^{p-1over n}) ^0 = 1) , (w_{n}^{n} = (g^{p-1over n})^n = g^{p-1} = 1) 。

性质2： (w_{n}^{0},w_{n}^{1},w_{n}^{2}....w_{n}^{n}) 互不相同。

根据原根的性质可得： (g^{0},g^1....g^{p-1}) 都互不相同，所以 性质2得证。

性质3： (w_{2*n}^{2*i} = w_{n}^{i})

(w_{2*n}^{2*i} = (g^{p-1over 2n}) ^{2i} = g^{{p-1over 2n} imes 2i} = (g^{p-1over n})^i)

(w_{n}^{i} = (g^{p-1over n})^i) .

所以 (w_{2*n}^{2*i} = w_{n}^{i}) ，性质三得证。

性质4： (w_{n}^{k+{nover 2}} = -w_{n}^{k})

(w_{n}^{k+{nover 2}} = (g^{p-1over n})^{k+{nover 2}} = (g^{p-1over n})^k (g^{p-1over n})^{nover 2} = (g^{p-1over n})^{k} g^{p-1over 2})

有一个有意思的性质就是 (g^{p-1over 2} = -1)

(ecause (g^{p-1over 2})^2 = 1)

( herefore g^{p-1over 2} = 1 或 g^{p-1over 2} = -1)

(ecause g^{p-1over 2} eq g^{p-1})

( herefore g^{p-1over 2} = -1)

所以 (w_{n}^{k+{nover 2}} = -(g^{p-1over n})^k = -w_{n}^{k})

性质5： (displaystylesum_{i=0}^{n-1} (w_{n}^{k})^i = 0) (k mid n)

根据等比数列的求和公式原式等价于 (1-(w_{n}^{k})^{n}over 1-w_{n}^{k})

分母 (1-(w_{n}^{k})^n = 1-(g^{p-1over n})^{kn} = 1-(g^{p-1})^k = 0)

性质五，得证。

NTT 和FFT 的代码其实是差不多的。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 5e6+10;
const int p = 998244353;
int n,m,len,tim,a[N],b[N],Rev[N];
inline int read()
{
	int s = 0,w = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
int ksm(int a,int b)
{
	int res = 1;
	for(; b; b >>= 1)
	{
		if(b & 1) res = res * a % p;
		a = a * a % p;
	}
	return res;
}
int inv(int n){return ksm(n,p-2);}
void NTT(int *a,int flag)
{
	for(int i = 0; i < len; i++)
	{
		if(i < Rev[i]) swap(a[i],a[Rev[i]]);
	}
	for(int h = 1; h < len; h <<= 1)
	{
		int wn = ksm(3,(p-1)/(h<<1));//原根
		if(flag == -1) wn = inv(wn);
		for(int j = 0; j < len; j += (h<<1))
		{
			int w = 1;
			for(int k = 0; k < h; k++)
			{
				int u = a[j+k];
				int v = w * a[j+h+k] % p;
				a[j+k] = (u + v) % p;
				a[j+h+k] = (u-v+p) % p;
				w = w * wn % p; //wni
			}
		}
	}
}
signed main()
{
	n = read(); m = read();
	for(int i = 0; i <= n; i++) a[i] = read();
	for(int i = 0; i <= m; i++) b[i] = read();
	len = 1, tim = 0;
	while(len <= n+m) len <<= 1, tim++;
	for(int i = 0; i < len; i++) Rev[i] = (Rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(tim-1));
	NTT(a,1); NTT(b,1);
	for(int i = 0; i < len; i++) a[i] = a[i] * b[i] % p;
	NTT(a,-1);
	for(int i = 0; i <= n+m; i++) printf("%lld ",a[i]*inv(len) % p);
	printf("
");
	return 0;
}