比赛-数论训练赛

A. 打气球

题目大意： (n imes n) 的矩阵上有的地方有气球，每次随机打一个地方，求最后每行每列至少有一个地方是空着的期望开枪次数。

期望从后往前推，注意到很多状态其实是一类的，就是说两个状态本质不同当且仅当他们合法的行数和列数至少有一个不同。

所以 (f(x, y)) 表示有 (x) 行 (y) 列已经合法，到达目标状态的期望次数，推一下即可。

B. 有趣的数列

题目大意：卡特兰数例题，模数不是素数。

答案是

[frac{(2n)!}{(n+1)! n!} ]

推了很久扩展卢卡斯，已经忘得一光二净了啊 Orz 。想到了唯一分解，就暴力分解了 ([1, n]) 中的每个数，竟然混到 90 分。

正解是说，整体处理阶乘，把 (n) 除以一个素约数（向下取整）后的商作为贡献（算唯一分解中对应底数的指数贡献为 1 的），然后继续除下去，再贡献（算指数贡献为 2 的）……以此类推。

#include <cstdio>
#include <ctype.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

char *p1, *p2, buf[1 << 20];

inline char gc()
{
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin))==p1?EOF:*p1++;
}

template<typename T>
void rd(T &num)
{
	char tt;
	bool flag = false;
	while (!isdigit(tt = gc()) && tt != '-');
	if (tt == '-') num = 0, flag = true;
	else num = tt - '0';
	while (isdigit(tt = gc()))
		num = num * 10 + tt - '0';
	if (flag) num = -num;
	return;
}

typedef long long ll;

ll P, GG = 1;
int N, Cnt, Ans, Prm[160000];
bool mk[2100000];

void qwq(ll n, ll t)
{
	while (n)
		Ans += (n /= Prm[Cnt]) * t;
	return;
}

ll mont(ll a, ll b)
{
	ll t = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) t = t * a % P;
		b >>= 1, a = a * a % P;
	}
	return t;
}

void euler()
{
	for (ll i = 2; i <= 2 * N; ++i) {
		if (!mk[i]) {
			Ans = 0;
			Prm[++Cnt] = i;
			qwq(N, -1);
			qwq(N + 1, -1), qwq(2 * N, 1);
			if (Ans)
				GG = GG * mont(i, Ans) % P;
			if (!GG) return;
		} 
		for (int j = 1; j <= Cnt && Prm[j] * i <= 2 * N; ++j) {
			mk[Prm[j] * i] = true;
			if (i % Prm[j] == 0) break;
		}
	}
	return;
}

int main()
{
	
	rd(N), rd(P);
	euler();
	printf("%lld
", GG);
	return 0;
}

C. 距离

题目大意：给定 (A_1, cdots , A_n) ，定义 (dis(i,j)) 表示 (A_i, A_j) 唯一分解中各项指数差的绝对值的和，求 (forall i in [1,n]) 使得 (dis(i,j)) 最小的 (j) （(i eq j)）。

用 (Cnt(i)) 表示 (i) 唯一分解的各项指数和。 (dis(i, j) = Cnt(i) + Cnt(j) - 2 imes Cnt(gcd(i, j))) 。预处理 (d = gcd(i, j)) 对应的（即 (i, j) 是 (d) 的倍数）最小的 (Cnt(i), Cnt(j)) 。然后对每个固定 (i) 求 (min{ dis(i, j) }) 的询问，枚举 (i) 的约数作为 (gcd(i, j)) （实际上是 gcd 的约数，不过这时的非法贡献肯定大于最终的合法贡献，所以不影响）。注意因为 (i eq j) ，还需要维护次小值，并且尽量取编号更小的。

值得学习的地方是那个 dis 的表达式，巧妙用到了 gcd 。在想到那个的基础上其他的内容还是挺套路的。

#include <cstdio>
#include <ctype.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

char *p1, *p2, buf[1 << 20];

inline char gc()
{
	return getchar();
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin))==p1?EOF:*p1++;
}

template<typename T>
void rd(T &num)
{
	char tt;
	bool flag = false;
	while (!isdigit(tt = gc()) && tt != '-');
	if (tt == '-') num = 0, flag = true;
	else num = tt - '0';
	while (isdigit(tt = gc()))
		num = num * 10 + tt - '0';
	if (flag) num = -num;
	return;
}

typedef long long ll;

const int _N = 1010000;

typedef int ARR[_N];

int N, Ans_n, Ans_v, PC, Mx;
ARR f1, f2, Cnt, A, Prm;

void update(int a, int b)
{
	if (!f1[b]) { f1[b] = a; return; }
	int tmp = a;
	if (Cnt[A[tmp]] < Cnt[A[f1[b]]] || Cnt[A[tmp]] == Cnt[A[f1[b]]] && tmp < f1[b])
		swap(tmp, f1[b]);
	if (!f2[b] || Cnt[A[tmp]] < Cnt[A[f2[b]]] || Cnt[A[tmp]] == Cnt[A[f2[b]]] && tmp < f2[b])
		f2[b] = tmp;
	return;
}

void init()
{
	for (ll i = 2; i <= Mx; ++i) {
		if (!Cnt[i]) Prm[++PC] = i, Cnt[i] = 1;
		for (int j = 1; j <= PC && i * Prm[j] <= Mx; ++j) {
			Cnt[i * Prm[j]] = Cnt[i] + 1;
			if (i % Prm[j] == 0) break;
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= N; ++i) {
		for (ll j = 1; j * j <= A[i]; ++j) {
			if (A[i] % j) continue;
			update(i, j);
			if (j * j != A[i]) update(i, A[i] / j);
		}
	}
	return;
}

void qaq(int x, int lim)
{
	int t = f1[x] == lim ? f2[x] : f1[x];
	if (!t || t == lim)
		return;
	
	if (Ans_n == -1) { Ans_n = t, Ans_v = Cnt[A[t]] - Cnt[x] * 2; return; }
	int v = Cnt[A[t]] - Cnt[x] * 2;
	if (v < Ans_v || v == Ans_v && t < Ans_n)
		Ans_v = v, Ans_n = t;
	return;
}

int main()
{
	rd(N);
	for (int i = 1; i <= N; ++i) {
		rd(A[i]);
		Mx = max(Mx, A[i]);
	}
	init();
	for (int i = 1; i <= N; ++i) {
		Ans_n = -1;
		for (ll j = 1; j * j <= A[i]; ++j) {
			if (A[i] % j) continue;
			qaq(j, i);
			if (j * j != A[i]) qaq(A[i] / j, i);
		}
		printf("%d
", Ans_n);
	}
	return 0;
}