POJ2299Ultra-QuickSort （线段树和归并排序的解法）

题目大意就是说帮你给一些(n个)乱序的数，让你求冒泡排序需要交换数的次数（n<=500000）

此题最初真不会做，我也只是在听了章爷的讲解后才慢慢明白过来的

首先介绍线段树的解法：

我们先将原数组每个值附上一个序号index，再将它排序。如题目的例子：

num：   9  1  0  5  4

index：  1  2  3  4  5

排序后：

num：   0  1  4  5  9

index：  3  2  5  4  1

然后由于排序后num为0的点排在原来数组的第3个，所以为了将它排到第一个去，那就至少需要向前移动两次，同时它也等价于最小的数0之前有2个数比它大（所以要移动两次），将0移到它自己的位置后，我们将0删掉（目的是为了不对后面产生影响）。再看第二大的数1，它出现在原数组的第二个，他之前有一个数比它大所以需要移动一次。这样一直循环下去那么着5个数所需要移动的次数就是：

num：  0  1  4  5  9

次数      2  1  2  1  0

将次数全部要加起来就是最后所需要移动的总次数。

方法章爷是已经告诉我了，但是最初我一直是觉得不好实现。到后来才慢慢、慢慢弄好。方法就是在建一棵树时，不是直接将原来的num放进树里面，而是将它的下标放进树里面，最初每个节点上赋值为1.然后当查找第一个num时，由于是找的下标为3的位置，所以我们就直接找区间[1,3)之间有多少个1（就是求前导和），这里面1的个数就是第一个num=0索要移动的次数，然后我们把0去掉，其实也就是吧下标为3的那个1去掉。这样每个值就依次计算出来了。

当然其实只要是想明白了，不用线段树，直接用树状数组写起来会简便很多。（因为每次只需要计算前导和以及去掉某一个点，是对点的操作）。

这里再讲一下归并排序的方法（对于最基础就没有掌握好的我来说听到他们说归并排序可以解题时，我竟然一团雾水，竟然连归并排序都忘记了），看了一下归并排序的实现过程，其实马上就可以找到思路，由于本题实际上就是要求逆序对（即满足i<j，a[i]>a[j]的数对）的个数。而我们再回顾一下归并排序的过程：

假设回溯到某一步，后面的两部分已经排好序（就是说当前需要归并的两个部分都是分别有序的），假设这两个序列为

序列a1：2 3 5 9  

序列a2：1 4 6 8

此时我们的目的就是要将a1和a2合并为一个序列。

由于在没排序前a2序列一定全部都是在a1序列之后的，当我们比较a2的1与a1的2时，发现1<2按照归并的思想就会先记录下a2的1，而这里实际上就是对冒泡排序的优化，冒泡是将a2的1依次与a1的9,5,3,2交换就需要4次，而归并却只有一次就完成了，要怎么去记录这个4呢，实际上由于1比2小而2后面还有4个数，也就是说那我的结果就必须要+4，也就是记录a1序列找到第一个比a2某一个大的数，他后面还余下的数的个数就是要交换的次数。

同时我们看a2的4时，a1中第一个比它大的数是5,5之后共有两个数，那结果就+2,。依次下去就可以计算出结果。但是由于我们任然没有改变归并排序的过程。所以复杂度还是O(nlogn)，比上面的线段树要快。

另外，此题有一坑就是结果会超int32,，用__int64

首先是线段树的解法11892 KB   1047 ms

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define MIN(a , b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define MAXN 500010
#define INF  1000000007
#define lson k<<1,     l,     mid
#define rson (k<<1)|1, mid+1,  r

using namespace std;

int Tree[MAXN<<2], index[MAXN], num[MAXN];
int N;

int cmp(const int i, const int j)
{
    return num[i] < num[j];
}

void Edit(int k, int l, int r, int num, int value)
{
    Tree[k] += value;
    if(r==l) return ;
    int mid = (l+r) >> 1;
    if(num <= mid) Edit(lson, num, value);
    else Edit(rson, num, value);
}

int Search(int k, int l, int r, int L, int R)//L,R是要找的区间
{
    if(L<=l && r<=R) return Tree[k];
    int mid = (l+r) >> 1;
    int ans = 0;
    if(L <= mid) ans += Search(lson, L, R);
    if(R > mid) ans += Search(rson, L, R);
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &N) && N)
    {
        mem(Tree); mem(num); mem(index);
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            scanf("%d", &num[i]);
            Edit(1, 1, N, i, 1);
            index[i] = i;
        }
        sort(index+1, index+N+1,cmp);
        long long ans = 0;
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            ans += (Search(1, 1, N, 1, index[i])-1);
            Edit(1, 1, N, index[i], -1);
        }
        printf("%I64d
", ans);
    }
    return 0;
}

然后是归并排序(只有注释位置有改动，其他的无变化)4076K   438MS

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))

int N, A[500010], T[500010];
__int64 ans;

void Merg_Sort(int x,int y)
{
    if(y-x<=1) return ;
    int mid = x + (y-x)/2;
    Merg_Sort(x,mid);
    Merg_Sort(mid,y);
    int p = x, q = mid, i=x;
    while(p<mid || q<y)
    {
        if(q>=y || (p<mid && A[p] <= A[q])) T[i++] = A[p++];
        else//else的条件是(p==mid || A[q] < A[p])
        {
            if(p<mid) ans+=(mid-p);//由于是p<mid,所以此时也就是相当于 A[q] < A[p]
            T[i++] = A[q++];       //上面同时A[p]是第一个<A[q]的数，所以+后面还有的数(mid-p)
        }
    }
    for(i=x;i<y;i++)
    {
        A[i] = T[i];
    }
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &N) && N)
    {
        mem(A); mem(T);
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            scanf("%d", &A[i]);
        }
        ans = 0;
        Merg_Sort(0,N);
        printf("%I64d
",ans);//结果会超int32
    }
    return 0;
}