loj#6518. 「雅礼集训 2018 Day11」序列（保序回归）

题目描述

保序回归

给出序列a和形如ai>=aj的限制条件，把x修改成y的代价为(|x-y|)^k，求最小代价

整体二分，对当前值域二分从而变成每个数修改为mid或mid+1，修改为mid的最终值<=mid，修改为mid+1的最终值>=mid+1，继续往下二分

证明感受一下

一般情况下用网络流来求

建图1

转化为最大权闭合子图，如果有a[u]>=a[v]则当v选了1u必须选1，一开始假设选0点权为(1的值-0的值)

最大权闭合子图：原图的边为inf，权值正则连S->u，为负则权值取反连u->T

假设全部选正的，割正边等于不选，割负边等于选，答案=∑正-最小割

建图2

自己想的，还没试过

S->i连选0的代价，i->T连选1的代价，如果a[u]>=a[v]则v->u连inf

割掉等于选，这样不能u选0v选1

本题

n=5000，建图跑网络流是n^3的所以用dp解决

设f[i][0/1]表示以i结尾，结尾为0/1的答案，考虑当前段的开头

一条限制可以拆成两个方向考虑，向前等于在线段树上把一段删掉，向后等于限制转移位置，用单调栈处理

要注意dp的是当前层的数，所以中间会有空，如果覆盖的不是这一层的就不用管，所以要考虑头/尾/间隔之类的东西，弹栈时根据是否覆盖下一位来弹

code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define abs(x) ((x)>0?(x):-(x))
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define inf 1000000000
#define ll long long
//#define file
using namespace std;

int a[5001],A[2][5001],S[5001][2][2],nx[5001],b[5001],Ans[5001],n,m,i,j,k,l,tp,x,y,z,tot,T[2];
ll f[5001][2],g[5001][2],ans;

struct tree{
	ll tr[20001],Tr[20001];
	int tr2[20001],tot,d[20001];
	bool bz[20001];
	
	void clear()
	{
		int i;
		fo(i,1,tot) tr[d[i]]=inf,bz[d[i]]=Tr[d[i]]=0;tot=0;
	}
	
	void add(int t) {if (!bz[t]) bz[t]=1,d[++tot]=t;}
	void down(int t,int len)
	{
		add(t);
		if (Tr[t])
		{
			if (len>1) Tr[t*2]+=Tr[t],Tr[t*2+1]+=Tr[t],add(t*2),add(t*2+1);
			tr[t]+=Tr[t],Tr[t]=0;
		}
	}
	void up(int t) {if (tr[t*2]+Tr[t*2]<tr[t*2+1]+Tr[t*2+1]) tr[t]=tr[t*2]+Tr[t*2],tr2[t]=tr2[t*2]; else tr[t]=tr[t*2+1]+Tr[t*2+1],tr2[t]=tr2[t*2+1];}
	void change(int t,int l,int r,int x,int y,ll s)
	{
		int mid=(l+r)/2;
		
		down(t,r-l+1);
		if (x<=l && r<=y) {Tr[t]=Tr[t]+s;down(t,r-l+1);return;}
		
		if (x<=mid) change(t*2,l,mid,x,y,s);
		if (mid<y) change(t*2+1,mid+1,r,x,y,s);
		up(t);
	}
	void Change(int t,int l,int r,int x,ll s,int s2)
	{
		int mid=(l+r)/2;
		
		down(t,r-l+1);
		if (l==r) {if (tr[t]>s) tr[t]=s,tr2[t]=s2;return;}
		
		if (x<=mid) Change(t*2,l,mid,x,s,s2);
		else Change(t*2+1,mid+1,r,x,s,s2);
		up(t);
	}
	pair<ll,int> find(int t,int l,int r,int x,int y)
	{
		pair<ll,int> ans,s;ans.first=inf;
		int mid=(l+r)/2;
		
		down(t,r-l+1);
		if (x<=l && r<=y) return pair<ll,int>(tr[t],tr2[t]);
		
		if (x<=mid) {s=find(t*2,l,mid,x,y);if (s.first<ans.first) ans=s;}
		if (mid<y) {s=find(t*2+1,mid+1,r,x,y);if (s.first<ans.first) ans=s;}
		return ans;
	}
} t1,t2;
struct sta{
	int d[5001],tot,tp;
	void clear() {tot=0;}
	void add(int t)
	{
		while (tot && S[d[tot]][tp][1]<=S[t][tp][1]) --tot;
		d[++tot]=t;
	}
} d1,d2;
void work(int l,int r,int st,int ed)
{
	int i,j,k,mid=(l+r)/2,St1,Ed1,St2,Ed2;
	pair<ll,int> s;
	
	tot=0;
	for (i=st; i!=ed; i=nx[i]) b[++tot]=i;
	b[++tot]=ed;
	
	t1.clear(),t2.clear();
	d1.clear(),d2.clear();
	t1.Change(1,1,n,1,0,0);
	t2.Change(1,1,n,1,0,0);
	fo(i,1,tot)
	{
		f[i][0]=f[i][1]=inf;
		if (i>1 && S[b[i]][1][0]<b[i]) t1.change(1,1,n,S[b[i]][1][0]+1,b[i],inf);
		if (i>1 && S[b[i]][0][0]<b[i]) t2.change(1,1,n,S[b[i]][0][0]+1,b[i],inf);
		
		t1.change(1,1,n,1,b[i],abs(a[b[i]]-mid));
		t2.change(1,1,n,1,b[i],abs(a[b[i]]-(mid+1)));
		while (d1.tot && (i==tot || S[d1.d[d1.tot]][1][1]<=max(b[i+1]-1,S[b[i]][1][1]))) --d1.tot;if (i<tot && S[b[i]][1][1]>=b[i+1]) d1.d[++d1.tot]=b[i];
		while (d2.tot && (i==tot || S[d2.d[d2.tot]][0][1]<=max(b[i+1]-1,S[b[i]][0][1]))) --d2.tot;if (i<tot && S[b[i]][0][1]>=b[i+1]) d2.d[++d2.tot]=b[i];
		
		if (d1.d[d1.tot]<b[i])
		{
			s=t1.find(1,1,n,d1.d[d1.tot]+1,b[i]);
			f[i][0]=s.first;g[i][0]=s.second;
		}
		if (d2.d[d2.tot]<b[i])
		{
			s=t2.find(1,1,n,d2.d[d2.tot]+1,b[i]);
			f[i][1]=s.first;g[i][1]=s.second;
		}
		
		if (i<tot)
		{
			t1.Change(1,1,n,b[i]+1,f[i][1],i);
			t2.Change(1,1,n,b[i]+1,f[i][0],i);
		}
	}
	
	j=tot;k=(f[tot][1]<f[tot][0]);T[0]=T[1]=0;
	while (j)
	{
		fd(i,j,g[j][k]+1) Ans[b[i]]=mid+k,A[k][++T[k]]=b[i];
		j=g[j][k],k=!k;
	}
	fo(i,0,1) fo(j,2,T[i]) nx[A[i][j]]=A[i][j-1];
	
	St1=(!T[0])?-1:A[0][T[0]];Ed1=A[0][1];
	St2=(!T[1])?-1:A[1][T[1]];Ed2=A[1][1];
	if (l<r)
	{
		if (St1>-1) work(l,mid,St1,Ed1);
		if (St2>-1) work(mid+1,r,St2,Ed2);
	}
}

int main()
{
	#ifdef file
	freopen("loj6518.in","r",stdin);
	#endif
//	freopen("b.out","w",stdout);
	
	memset(t1.tr,1,sizeof(t1.tr));
	memset(t2.tr,1,sizeof(t2.tr));
	d1.tp=0,d2.tp=1;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	fo(i,1,n) S[i][0][0]=S[i][1][0]=n+1,nx[i]=i+1;nx[0]=1;
	fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
	fo(i,1,m) scanf("%d%d%d%d",&tp,&x,&y,&z),S[z][tp][0]=min(S[z][tp][0],x),S[z][tp][1]=max(S[z][tp][1],y);
	
	work(1,100000,1,n);
	fo(i,1,n) ans+=abs(a[i]-Ans[i]);
	printf("%lld
",ans);
	
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}