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  • ### 《组合数学》

    组合数学基础。

    #@author:       gr
    #@date:         2014-12-10
    #@email:        forgerui@gmail.com
    

    一、排列、组合、二项式定理

    1.1 加法、乘法原理

    这章的知识基本用高中时的知识就可以解决了,分析每种情况,将所有情况相加。

    1.2 排列与组合

    排列: (P(n, n) = n!)
    圆排列:n元集合S的r圆排列数为$$dfrac{P(n,r)}{r} = dfrac{n!}{r(n-r)!}$$
    组合: $$C_n^m = frac{n!}{m!(n-m)!}$$

    1.3 多重集合的排列与组合

    1. 多重集合$ M = { infty cdot a_1 , infty cdot a_2, cdots, infty cdot a_k }$ 的 r 排列数为 $$ k^r $$。
    2. 多重集合$ M = { k_1 cdot a_1 , k_2 cdot a_2, cdots, k_n cdot a_n }$ 的 全排列数为(dbinom{(k_1 + k_2 + cdots + k_n)!}{k_1 ! k_2 !cdots k_n!})
    3. 多重集合$ M = { infty cdot a_1 , infty cdot a_2, cdots, infty cdot a_k }$ 的 r 组合数为 (dbinom{r + k - 1}{r})

    二、容斥原理与鸽巢原理

    1. 容斥原理

    [mid overline A cap overline {B} cap overline C mid ~ = ~ mid S mid - (mid A mid + mid B mid + mid C mid) + (mid A cap B mid + mid A cap Cmid + mid B cap Cmid) - mid A cap B cap C mid ]

    2. 鸽巢原理

    三、递推关系

    1. 递推关系与特征方程解

    • ** 齐次:**
    • 非齐次:

    2. 迭代法求解递归关系

    3. Fibonacci & Catalan

    四、生成函数

    1. 形式幂级数

    2. 生成函数性质

    [G{1} = 1 + x + x^2 + cdots + x^n + cdots = dfrac{1}{1-x} ]

    [G{k} = x + 2x^2 + 3x^3 + cdots + nx^n + cdots = dfrac{x}{(1-x)^2} ]

    [G{a^k} = dfrac{1}{1-ax} ]

    [G{dfrac{1}{k!}} = e^x ]

    [G{k^2} = dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3} ]

    [G{inom{n+k}{k}} = dfrac{1}{(1-x)^{n+1}} ]

    3. 用生成函数求解递推关系

    4. 生成函数在计数问题中的应用

    五、(Polya)计数理论

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