[LeetCode] Largest Divisible Subset 最大可整除的子集合

Given a set of distinct positive integers, find the largest subset such that every pair (S_i, S_j) of elements in this subset satisfies: S_i % S_j = 0 or S_j % S_i = 0.

If there are multiple solutions, return any subset is fine.

Example 1:

nums: [1,2,3]

Result: [1,2] (of course, [1,3] will also be ok)

Example 2:

nums: [1,2,4,8]

Result: [1,2,4,8]

Credits:
Special thanks to @Stomach_ache for adding this problem and creating all test cases.

这道题给了我们一个数组，让我们求这样一个子集合，集合中的任意两个数相互取余均为0，而且提示中说明了要使用DP来解。那么我们考虑，较小数对较大数取余一定不为0，那么问题就变成了看较大数能不能整除这个较小数。那么如果数组是无序的，处理起来就比较麻烦，所以我们首先可以先给数组排序，这样我们每次就只要看后面的数字能否整除前面的数字。定义一个动态数组dp，其中dp[i]表示到数字nums[i]位置最大可整除的子集合的长度，还需要一个一维数组parent，来保存上一个能整除的数字的位置，两个整型变量mx和mx_idx分别表示最大子集合的长度和起始数字的位置，我们可以从后往前遍历数组，对于某个数字再遍历到末尾，在这个过程中，如果nums[j]能整除nums[i], 且dp[i] < dp[j] + 1的话，更新dp[i]和parent[i]，如果dp[i]大于mx了，还要更新mx和mx_idx，最后循环结束后，我们来填res数字，根据parent数组来找到每一个数字，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    vector<int> largestDivisibleSubset(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        vector<int> dp(nums.size(), 0), parent(nums.size(), 0), res;
        int mx = 0, mx_idx = 0;
        for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = i; j < nums.size(); ++j) {
                if (nums[j] % nums[i] == 0 && dp[i] < dp[j] + 1) {
                    dp[i] = dp[j] + 1;
                    parent[i] = j;
                    if (mx < dp[i]) {
                        mx = dp[i];
                        mx_idx = i;
                    }
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < mx; ++i) {
            res.push_back(nums[mx_idx]);
            mx_idx = parent[mx_idx];
        }
        return res;
    }
};

下面这种方法和上面解法的思路基本一样，只不过dp数组现在每一项保存一个pair，相当于上面解法中的dp和parent数组揉到一起表示了，然后的不同就是下面的方法是从前往后遍历的，每个数字又要遍历到开头，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    vector<int> largestDivisibleSubset(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        vector<int> res;
        vector<pair<int, int>> dp(nums.size());
        int mx = 0, mx_idx = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            for (int j = i; j >= 0; --j) {
                if (nums[i] % nums[j] == 0 && dp[i].first < dp[j].first + 1) {
                    dp[i].first = dp[j].first + 1;
                    dp[i].second = j;
                    if (mx < dp[i].first) {
                        mx = dp[i].first;
                        mx_idx = i;
                    }
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < mx; ++i) {
            res.push_back(nums[mx_idx]);
            mx_idx = dp[mx_idx].second;
        }
        return res;
    }
};

参考资料：

https://discuss.leetcode.com/topic/49580/c-o-n-2-solution-56ms

https://discuss.leetcode.com/topic/49456/c-solution-with-explanations/2

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