很久没更新博客了，来篇水的。今天看见有位兄弟写了杨辉三角形，记得以前自己也研究过，索性也发一篇，欢迎讨论。
来历
杨辉三角形也叫贾宪三角形，西方叫帕斯卡三角形，其实就是各阶二项式系数排列起来构成的三角形，如下。每行的数字实际上是(a + b) ^ n展开后的结果。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
历史上发现这个三角形的人很多，这里介绍几个主要的，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
编程输出杨辉三角形
方法一
使用二维数组计算并存储各行数字然后输出，如果不考虑每行左侧空格的话，上面的三角形可以写成如下形式
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
根据观察我们发现，第一列和对角线上的数字都是1，其他数字则是其左上方数字和正上方数字之和，如下图，其中数字1被标记成红色，因为1是我们预先设置好的，图中的白色数字为合成数字，合成数字是由1或者其他已经存在的数字相加而成的。比如数字2是由其上方的1和左上方的1相加而成，第一个3是由其上方的2和左上方的1相加而成。
设p是存储数字的二维数组，设i和j分别表示p的行号和列号，则有
- 如果j == 0 或 j == i，则p[i][j] = 1 ;
- 否则，p[i][j] = p[i - 1][j] + p[i - 1][j - 1] ;
有了上面的分析，写代码就不再是难事了。
// 打印杨辉三角形，参数n是层数
void YanghuiTriangle(int n)
{
//定义二维数组并初始化
int **p = new int*[n] ;
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
p[i] = new int[n] ;
for(int j = 0; j < n; ++j)
p[i][j] = 0 ;
}
// 填充并输出
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
for(int j = 0; j <= i; ++j)
{
// 第一列和对角线列的元素置1
if(j == 0 || j == i)
p[i][j] = 1 ;
// 其他元素是其上方元素和左上方元素之和
else
p[i][j] = p[i - 1][j] + p[i - 1][j - 1] ;
cout << p[i][j] << " " ;
}
cout << endl ;
}
}
输出如下
方法二
方法一的优点是直观，代码好写，但是缺点是如果层数n很大的话，那么将需要很大的存储空间(n * n)，而这么大的空间中有一半被浪费掉了。下面这个方法使用一维数组实现，空间上只要n即可。思路是逐行计算并输出，举个例子，假设我们要输出5行（n = 5），我们先计算并输出第一行，然后计算并输出第二行，...，最后是第五行，因为每行的数字个数不超过行数n，所以一个含有n个元素的一维数组就可以胜任了，只不过这个一维数组中的数字是不断变化的（除了第一个元素），我们用新增的元素覆盖掉了原来的元素。下图展示了这个一维数组的变化过程。其中红色字数字表示每次迭代新增的数字。可见这种方法中第一列数字1始终保持不变。
1 首先定义一个含有n个元素的一维数组，且第一个元素初始化为1，其他元素初始化为0
2 对于每一行的计算，除了第一元素之外，其他所有元素都由其本身的值加上其前一个值构成，注意，计算的方向是从后向前，如果从前向后的话，元素本来的值将被覆盖。
代码如下
// 打印杨辉三角形，参数n是层数
void YanghuiTriangle(int n)
{
// 定义一个一维数组
int* a = new int[n] ;
for (int i = 0; i < n; ++i)
a[i] = 0 ;
a[0] = 1 ;
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
// 计算当前行的数字，注意要从后向前计算，否则会覆盖以前的值
for (int j = i; j > 0; --j)
a[j] += a[j - 1];
// 打印空格
for (int j = 0; j < n - i; ++j)
cout << " " ;
// 打印数字
for (int j = 0; j < i + 1; ++j)
cout << a[j] << " " ;
cout << endl ;
}
}
输出如下，因为处理了空格，所以更美观一点。
Happy Coding!!!
== THE END ==