贝尔数的指数母函数推导
参考自 https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/19008217
(B[0]=1,B_{n+1}=sum^n_{k=0}C^k_nB_k)
贝尔数的指数母函数为(E(B)=sum^{infin}_{n=0}frac{B_n}{n!}x^n=B[0]+sum^{infin}_{n=1}sum^{n-1}_{k=0}frac{C^k_{n-1}B_k}{n!}x^n)
改变枚举顺序，先枚举(k),那么对于(B_k)只有(ngeq k+1)有贡献
那么(E(B)=B[0]+sum^{infin}_{k=0}B_ksum^{infin}_{n=k+1}frac{C^k_{n-1}x^n}{n!})
(=B[0]+sum^{infin}_{k=0}B_ksum^{infin}_{n=k+1}frac{(n-1)!x^n}{n!(n-1-k)!k!})
(=B[0]+sum^{infin}_{k=0}frac{B_k}{k!}sum^{infin}_{n=k+1}frac{x^n}{n(n-1-k)!})
(=B[0]+sum^{infin}_{k=0}frac{B_k}{k!}sum^{infin}_{n=k+1}frac{x^n}{n(n-1-k)!})
对(E(B))求导
(E^{'}(B)=sum^{infin}_{k=0}frac{B_k}{k!}sum^{infin}_{n=k+1}frac{x^{n-1}}{(n-1-k)!})
尝试将第二个求和符号内的(x^{n-1})变成(x^{n-1-k})
(=sum^{infin}_{k=0}frac{B_kx^k}{k!}sum^{infin}_{n=k+1}frac{x^{n-1-k}}{(n-1-k)!})
(=sum^{infin}_{k=0}frac{B_kx^k}{k!}sum^{infin}_{n=0}frac{x^{n}}{n!})
此时第二个求和符号(sum^{infin}_{n=0}frac{x^{n}}{n!})正好是(e^x)的麦克劳林展开并舍去余项的形式,可以得到下面的形式
(=sum^{infin}_{k=0}frac{B_kx^k}{k!}e^x)
(sum^{infin}_{k=0}frac{B_kx^k}{k!})不就是一开始的(E(B)=sum^{infin}_{n=0}frac{B_n}{n!}x^n么)
那么(E^{'}(B)=E(B)e^x)
利用((lnE(B))'=frac{E'(B)}{E(B)}=e^x)
那么(ln(E(B))=e^x+c=ln(e^{e^x+c}))
(E(B)=e^{e^x+c})
当(x=0)时(E(B)=e^{e^x+c}=1)
(c=-1)
所以贝尔数的指数母函数(E(B)=e^{e^x-1})
