NOIp 基础数论知识点总结

推荐阅读 NOIp 数学知识点总结: https://www.cnblogs.com/greyqz/p/maths.html

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Basic

常用素数表：https://www.cnblogs.com/greyqz/p/9845627.html

快速幂

int qpow(int x, int y) {
    int res = 1;
    for (; y; x = (ll)x * x % mod, y >>= 1)
        if (y & 1) res = (ll)res * x % mod;
    return res;
}

矩阵快速幂：

struct matrix {
    ll m[100][100];
    matrix operator * (matrix &a) {
        matrix b;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                b.m[i][j] = 0;
                for (int k = 0; k < n; k++)
                    b.m[i][j] = (b.m[i][j] + m[i][k] * a.m[k][j]) \% mod;
            }
        return b;
    }
} s;

matrix mpow(matrix a, ll k) {
    if (k == 1) return a;
    a = mpow(a, k / 2);
    if (k \% 2) return (a * a) * s;
    else return a * a;
}

matrix a = mpow(s, p);

乘法逆元

众所周知, 在模意义下没有标准的除法. 为了表示乘法的逆运算, 我们定义：

在 ({ m mod} p) 意义下, (x) 的乘法逆元记为 (x^{-1}), 即 (xcdot x^{-1}equiv 1pmod p).

由此我们得到 (displaystyle frac{x}{y}equiv xcdot y^{-1}pmod p).

费马小定理：对于任意素数 (p), 有 (a^{p-1}equiv 1pmod p).

对费马小定理变形, 得 (acdot a^{p-2}equiv 1pmod p).

所以 (a^{p-2}) 即为 (a) 的乘法逆元. 对于非素数 (p), 不一定有乘法逆元.

由此, 使用快速幂求解乘法逆元：

inline int qpow(int n, int m, int mod) {
    ll tot = 1;
    for (ll k = n; m; k = k * k % mod, m >>= 1)
    	if (m & 1) tot = tot * k % mod;
    return tot;
}

inline int inv(int x, int mod) {
    return qpow(x, mod - 2);
}

拓展欧几里得算法用于在线性时间里求解关于 (x,y) 的方程 (ax+by=gcd(a,b)) 的一组整数解.

当 (b) 为素数时, (gcd(a,b)=1), 此时有 (axequiv 1pmod b). 从而使用拓展欧几里得算法求解乘法逆元：

void exgcd(const int a, const int b, int &g, int &x, int &y) {
    if (!b) g = a, x = 1, y = 0;
    else exgcd(b, a % b, g, y, x), y -= x * (a / b);
}

inline int inv(const int num) {
    int g, x, y;
    exgcd(num, MOD, g, x, y);
    return ((x % MOD) + MOD) % MOD;
}

以上时间复杂度均为 (O(log a)).

整除

最大公约数

辗转相除法（欧几里得算法）：

int gcd(int x, int y) {
	return !y ? x : gcd(y, x % y);
}

大整数意义下的快速更相减损术：

bint kgcd(bint a, bint b) {
	if (b == 0) return b;
	if (a < b) return kgcd(b, a);
	if (!(a&1) && !(b&1)) return kgcd(a>>1, b>>1) << 1;
	else if (!(b&1)) return kgcd(a, b>>1);
	else if (!(a&1)) return kgcd(a>>1, b);
	else return kgcd(b, a-b);
}

最小公倍数：( ext{lcm}( a, b ) = a div gcd ( a, b ) imes b). （先除后乘防爆 int. ）

线性筛法

素数分布定理：对于不大于 (n) 的自然数集合, 素数个数 (pi(x)simdisplaystylefrac{n}{ln{n}}).

Euler 筛法（一种最常见的线性筛法）：

基本思想：每个数只被最小的质因子筛一次, 即对于 (a) 是质数, (b) 的最小质因子不小于 (a) 的整数对 (a, b), 标记 (ab) 为合数实现：先枚举 (b), 再枚举 (a), 枚举到 (a|b) 时结束.

int p[N/lnN]; // 素数分布定理
bool com[N];

for (int i=2; i<=n; i++) {
	if (!com[i]) p[++p[0]]=i;
	for (int j=1; j<=p[0] && i*p[j]<=n; j++) {
		com[i*p[j]]=true;
		if (i%p[j]==0) break;
	}
}

素因数分解（筛法优化）：

int p[N/lnN], mfac[N];

for (int i=2; i<=n; i++) {
	if (!mfac[i]) p[++p[0]]=i;
	for (int j=1; j<=p[0] && i*p[j]<=n; j++) {
		mfac[i*p[j]]=p[j];
		if (i%p[j]==0) break;
	}
}

int fac[2 * sqrtN];  // 算术基本定理的推论
while (x > 1) {
    fac[++fac[0]] = mfac[x];
    x /= mfac[x];
}

数论函数

Bézout 定理：设 (a, bin mathbf{Z}), ((a, b) = d), 存在 (u,v), 使得 (ua+vb=d).

算术基本定理（整数唯一分解定理）：对于正整数 (a), 等式 (a=p_1^{e_1} p_2^{e_2}cdots p_n^{e_n}) 唯一确定.

积性函数：对于 ((m,n)=1), (m,n∈mathbf{N}^*), 有 (f(mn)=f(m)f(n)). 要么 (f(n)=0, forall nin mathbf{N}^*), 要么 (f(1)=1).

完全积性函数：对于一切 (m, ninmathbf{N}^*), 有 (f(mn)=f(m)f(n)).

Möbius 函数：

[displaystyle mu(n) = egin{cases}1,quad & n=1,\ (-1)^k, quad & n=p_1 p_2cdots p_k,\ 0,quad & p^2 |n. end{cases} ]

除数函数 ( au(n))：正整数 (n) 的正因数个数.

[displaystyle au(n)=sum_{d|n} 1 = prod_{i=1}^k (e_i+1), ]

其中 (n=p_1^{e_1} p_2^{e_2}cdots p_k^{e_k}) (唯一确定).

除数和函数：

[displaystylesigma(n)=sum_{d|n} d=prod_{i=1}^k frac{1-p_i^{e_i+1}}{1-p_i}, ]

其中 (n=p_1^{e_1} p_2^{e_2}cdots p_k^{e_k}) (唯一确定). 积性函数.

Euler 函数 (varphi(n))：不超过正整数 (n) 的正整数 (1,2,3,ldots ,n-1) 中与 (n) 互质的数的个数. 积性函数. (varphi(p)=p-1).

[displaystylevarphi(n)=nprod_{i=1}^k (1-frac{1}{p_i}). ]

void euler(int n) {
	for (int i=2; i<=n; ++i) phi[i]=i;
	for (int i=2; i<=n; ++i) if (phi[i]==i) 
		for (int j=i; j<=n; j+=i) phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

取整函数

Gauss 函数 ([x])：不大于 (x) 的最大整数. 又称整数部分.

一般地, 地板函数 $ lfloor x floor=[x] $, 天花板函数 $ displaystyle lceil x ceil=egin{cases} [x], & xin mathbf{Z}, \ [x]+1, & x otin mathbf{Z}end{cases} $, 小数部分 $ lbrace x brace=x-[x] $.

常用性质：

[[x]+[y]le [x+y]le [x]+[y]+1. ]

任取 $ xinmathbf{R} $, 都有 $ displaystyleleft[x ight]+left[x+frac{1}{2} ight]=left[2x ight] $.

[[x]cdot [y]le [xy]. ]

[displaystyleleft[frac{x}{n} ight]=left[frac{[x]+{x} }{n} ight] = left[frac{[x]}{n}+frac{{x}}{n} ight]=left[frac{[x]}{n} ight]. ]

C++ 的默认取整方式为 向 0 取整。注意与取整函数的区别。

线性同余方程

拓展欧几里得算法：

void exgcd(const int a, const int b, int &g, int &x, int &y) {
    if (!b) g=a, x=1, y=0;
    else exgcd(b, a%b, g, y, x), y -= x*(a/b);
}

若方程 (ax+by=c) ((a,b,cinmathbf{Z})) 的一组整数解为 ((x_0,y_0)), 则它的任意整数解可以写成 ((x_0+kb',y_0-ka')), 其中 (displaystyle a'=frac{a}{gcd(a,b)}), (displaystyle b'=frac{b}{gcd(a,b)}), (displaystyle kinmathbf{Z}).

模线性方程组：

解方程 (axequiv bpmod n): (ax-b) 即为 (n) 的倍数. 设 (ax-b=ny), 移项得 (ax-ny=b), 解线性同余方程即可.