poj_2182 线段树/树状数组

题目大意

    n个数排成一排（不知道大小，只是占了一个位置），从a[1]到a[n]进行遍历，对于每个a[i]，给出从a[1]到a[i-1]中小于a[i]数的个数。要求出 a[1]到a[n]中这n个数的相对顺序。

题目分析

    对于每个数 a[i], 给出了从 a[1] -- a[i-1]中小于a[i]的个数 less[i]. 
    从n到1逆序查看， less[n] 表示前n-1个数中小于a[n]的个数，则可以确定a[n]的位置为 less[n] + 1 
类似的对于 i，为了确定a[i]在所有n个数中的序号，将这个任务分为两部分： 
（1）在 a[1] -- a[i-1]中有多少个数小于a[i]， 题目给出了为 less[i] 
（2）在a[i+1]---a[n]中有多少个数小于 a[i]， 设为t

    则 a[i] 在所有n个数中的序号（按照从小到大排序）为 k = less[i] + t + 1

    但是，t并不好直接求出，则观察k的性质。对于a[i]在所有n个数中的位置k，1---k-1中包括 less[i]个在 a[1] -- a[i-1]中的元素，同时包括t个在a[i+1]---a[n]中的元素，在a[i+1]---a[n]中的元素已经确定了他们在整个n个数中的位置（我们是从后往前进行计算的）,则 1----k-1中就可以确定那t个元素的位置。

    为了确定k的位置，则设置一个数组b[1]--b[n],初始全部为0，从n到1统计，若a[i]的位置确定下来为p，则 b[p] = 1.则对于任意的k，b[1]---b[k]中1的个数表示 1----k中被占用的位置，0 的位置表示未被占用的位置。

    对于 a[i]，找到某个k，使得其b[1]--b[k-1]中0的个数正好为 less[i]个，则k的位置就是 a[i]在整个n个数中的按照大小排序的位置

实现(c++)

1. 线段树

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<string.h>

#define MAX_COW_NUM 80010
#define MAX_NODE_NUM 4*MAX_COW_NUM

int gLess[MAX_COW_NUM];
int gPos[MAX_COW_NUM];
struct Node{
	int beg;
	int end;
	int sum_zero;
	int Mid(){
		return (beg + end) >> 1;
	}
};
Node gNodes[MAX_NODE_NUM];
void BuildTree(int beg, int end, int index){
	gNodes[index].beg = beg;
	gNodes[index].end = end;
	if (beg == end){
		gNodes[index].sum_zero = 1;
		return;
	}
	int left = 2 * index + 1;
	int right = 2 * index + 2;
	int mid = (beg + end) >> 1;
	BuildTree(beg, mid, left);
	BuildTree(mid + 1, end, right);
	gNodes[index].sum_zero = gNodes[left].sum_zero + gNodes[right].sum_zero;
}
//对于每个数 a[i], 给出了从 a[1] -- a[i-1]中小于a[i]的个数 less[i].
//从n到1逆序查看， less[n] 表示前n-1个数中小于a[n]的个数，则可以确定a[n]的位置为 less[n] + 1
//类似的对于 i，为了确定a[i]在所有n个数中的序号，将这个任务分为两部分：
//（1）在 a[1] -- a[i-1]中有多少个数小于a[i]， 题目给出了为 less[i]
//（2）在a[i+1]---a[n]中有多少个数小于 a[i]， 设为t

//则 a[i] 在所有n个数中的序号（按照从小到大排序）为 k = less[i] + t + 1

//t 并不好直接求出，则观察k的性质。对于a[i]在所有n个数中的位置k，1---k-1中包括 less[i]个在 a[1] -- a[i-1]中的元素，
//同时包括 t个在a[i+1]---a[n]中的元素，在a[i+1]---a[n]中的元素已经确定了他们在整个n个数中的位置（我们是从后往前进行计算的）,
//则 1----k-1中就可以确定那t个元素的位置。

//为了确定k的位置，则设置一个数组 b[1]--b[n],初始全部为0，从n到1统计，若a[i]的位置确定下来为p，则 b[p] = 1.
//则对于任意的k，b[1]---b[k]中1的个数表示 1----k中被占用的位置，0 的位置表示未被占用的位置。

//对于 a[i]，找到某个k，使得其b[1]--b[k-1]中0的个数正好为 less[i]个，则k的位置就是 a[i]在整个n个数中的按照大小排序的位置

//利用线段树，找到 b[1]---b[pos]中 0的个数为k个的pos的位置
void FindKth(int k, int index, int& pos){
	if (gNodes[index].sum_zero < k){
		return;
	}
	if (gNodes[index].beg == gNodes[index].end){
		gNodes[index].sum_zero = 0;
		pos = gNodes[index].beg;
		return;
	}
	int left = 2 * index + 1, right = 2 * index + 2;
	gNodes[index].sum_zero--;
	if (gNodes[left].sum_zero >= k){
		FindKth(k, left, pos);
	}
	else{
		FindKth(k - gNodes[left].sum_zero, right, pos);
	}
}

int main(){
	int n;
	scanf("%d", &n);
	BuildTree(0, n - 1, 0);
	for (int i = 2; i <= n; i++){
		scanf("%d", &gLess[i]);
	}
	int pos = 0;
	gLess[1] = 0;
	for (int i = n; i >= 1; i--){
		FindKth(gLess[i] + 1, 0, pos);
		gPos[i] = pos + 1;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		printf("%d
", gPos[i]);
	}
	return 0;
}

 2. 树状数组

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#define MAX_COW_NUM 80010
int gLowBit[MAX_COW_NUM];
int gC[MAX_COW_NUM];
int gLess[MAX_COW_NUM];
int gPos[MAX_COW_NUM];
bool gUsed[MAX_COW_NUM];
void InitLowBit(int n){
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		gLowBit[i] = i&(-i);
	}
}
void InitSequence(int n){
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		gC[i] = gLowBit[i];
	}
}

//树状数组的更新
void Update(int p, int n, int add){
	while (p <= n){
		gC[p] += add;
		p += gLowBit[p];
	}
}

//树状数组的查询
int Query(int p){
	int result = 0;
	while (p > 0){
		result += gC[p];
		p -= gLowBit[p];
	}
	return result;
}

//二分法，查找满足要求的 位置
int Search(int k, int n){
	int beg = 1, end = n + 1;
	while (beg < end){
		int mid = (beg + end) >> 1;
		int sum_zero = Query(mid);
		if (sum_zero == k){
			while (mid + 1 < end){		//用于判断该位置是否被占用
				if (gUsed[mid + 1])
					mid++;
				else
					break;
			}
			return mid + 1;
		}
		else if (sum_zero < k){
			beg = mid + 1;
		}
		else{
			end = mid;
		}		
	}
	return 1;
}

int main(){
	int n;
	scanf("%d", &n);
	gLess[1] = 0;
	InitLowBit(n);
	InitSequence(n);
	memset(gUsed, false, sizeof(gUsed));

	for (int i = 2; i <= n; i++){
		scanf("%d", &gLess[i]);
	}
	for (int i = n; i >= 1; i--){
		int pos = Search(gLess[i], n);
		gPos[i] = pos;
		gUsed[pos] = true;
		Update(pos, n, -1);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		printf("%d
", gPos[i]);
	}
	return 0;
}