BZOJ 3028 食物 (生成函数+数学题)

题面：BZOJ传送门

题目让我们求这些物品在合法范围内任意组合，一共组合出$n$个物品的方案数

考虑把每种食物都用生成函数表示出来，然后用多项式乘法把它们乘起来，第$n$项的系数就是方案数

汉堡：$1+x^{2}+x^{4}+x^{4}...=frac{1}{1-x^{2}}$

可乐：$1+x$

鸡腿：$1+x+x^{2}$

蜜桃：$x+x^{3}+x^{5}+x^{7}...=frac{x}{1-x^{2}}$

鸡块：$1+x^{4}+x^{8}+x^{12}..=frac{1}{1-x^{3}}$

包子：$1+x+x^{2}+x^{3}=(1+x)(1+x^{2})$

土豆：$1+x$

面包：$1+x^{3}+x^{6}+x^{9}...=frac{1}{1-x^{3}}$

数据范围非常大，直接上生成函数会炸，而且模数也不支持$NTT$

把这些多项式乘起来，化简可得$f(x)=frac{x}{(1-x)^{4}}$

一种做法是求导，再代入泰勒展开，然而我太弱了并没有推明白式子

$f(x)=frac{x}{(1-x)^{4}}=x(frac{1}{(1-x)})^{4}$

考虑$frac{1}{1-x}$的麦克劳林公式，就是$1+x+x^{2}+x^{3}...$

而它的四次方就是$1+4x+10x^{2}+20x^{3}..$

即$C_{3}^{0}+C_{4}^{1}x+C_{5}^{2}x^{2}+C_{6}^{3}x^{3}...=sum_{i=1}^{n}C_{i+3}^{3}x^{i}$

然而还有一项$x$没算进去，相当于把整个多项式右移一位，即答案左移一位

最终答案变成了$C_{n+2}^{3}$

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long 
#define dd double
#define N1 1010
using namespace std;
 
const int mod=10007;
 
int gint()
{
    int ret=0,fh=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')fh=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ret=ret*10+c-'0';c=getchar();}
    return ret*fh;
}
 
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b){ x=1; y=0; return; }
    exgcd(b,a%b,x,y); ll t=x; x=y; y=t-a/b*y;
}
char str[N1];
int a[N1],n;
 
int main()
{
    scanf("%s",str+1);
    int ret=0,i; n=strlen(str+1);
    for(i=1;i<=n;i++) ret=(ret*10+str[i]-'0')%mod;
    ll inv,invy; ret=1ll*(ret+2)*(ret+1)%mod*(ret)%mod;
    exgcd(2,mod,inv,invy); inv=(inv%mod+mod)%mod; ret=1ll*ret*inv%mod;
    exgcd(3,mod,inv,invy); inv=(inv%mod+mod)%mod; ret=1ll*ret*inv%mod;
    printf("%d
",ret);
    return 0;
}