拿硬币——动态规划

拿硬币

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Question： 有10个硬币，我和你按顺序拿，每次可以拿1、2或者4个，拿到最后一个硬币的人输，你怎么确保自己可以获胜

（这个问题的有一个前提：双方都想赢，并且当遇到能赢的情况时，他们能做出正确的决策而不是随便决策）
这种问题，可以从简单情况先想起，：

• 没有硬币剩下，则默认该轮次的人胜利。

• 剩下一个硬币时，先手拿硬币的人输，后手赢；

• 剩下两个硬币时，先手的人一下子拿两个，则先手输。
  先手的人拿一个，刚才推过，可以知先手赢。
  所以，面对这种情况，先手时你可以认为你赢定了。、

• 剩下三个硬币时，先手的人如果只拿一个，剩下两个硬币，则我们刚才推过，这种情况你会输。
  先手的人如果拿两个，剩下一个硬币，你赢。
  所以，对于这种情况，先手的人也赢定了。

• 剩下四个硬币时，先手的人拿四个，则先手人会输。
  先手如果拿两个，我们刚才推过，先手也输定了。
  先手如果拿一个，也是上面推过，先手输定了。

…..

依此下来，我们是不是发现，对于固定的剩余硬币数量，先手还是后手直接可以决定你的输赢。
其实，这是利用了动态规划的思想。
我们假设f(i)表示结果，0表示输，1表示赢。
当轮到你去取硬币时，我们假设面前有i枚硬币，你有三种取法（即取 1，2，4），当你取完就该对手取，如果说三种取法里面只有有一个取法能够让对手最后输掉，那么可以说你就赢了。
　　

写成状态转移方程：
　　　　　f(i)=(f(i-1)==0 || f(i-2)==0 || f(i-4)==0 ) 　　　　①

状态推算：
f(0)=1
f(1)=0
f(2)=1
f(3)=1
f(4)=0
f(5)=1
f(6)=1
f(7)=0
f(8)=1
f(9)=1
f(10)=0

所以，对于10枚硬币，先手拿不管怎么拿必输，因为后面的局面完全可以被后手的人掌握主动权，所以你要后手拿，然后你就可以根据表格获得制胜的策略。

10枚可以自己去推，我们简单来推测下，为什么7枚后手怎么赢。

1. 如果对方拿4枚，剩3枚，将i==3带入公式①，我们发现 f(3-1)==0，所以我们取 1 枚，剩下一枚,胜利！
2. 如果对方拿2枚，剩下5枚，将i==5带入公式，发现f(5-1)==0,所以我们取 1 枚,剩下 4 枚，我们在前面推过，面对4枚对方先手，他输定了。

3. 如果对方拿1枚，剩6枚，将i==6带入公式，发现f(6-2)==0，所以取 2 枚，又剩下四枚，同样的情况，你赢定了。

   所以，7枚后手具体是这样，10枚后手胜利也是这个道理。