洛谷P3758 [TJOI2017]可乐

原题链接：洛谷P3758 [TJOI2017]可乐 

题目描述

加里敦星球的人们特别喜欢喝可乐。因而，他们的敌对星球研发出了一个可乐机器人，并且放在了加里敦星球的1号城市上。这个可乐机器人有三种行为： 停在原地，去下一个相邻的城市，自爆。它每一秒都会随机触发一种行为。现 在给加里敦星球城市图，在第0秒时可乐机器人在1号城市，问经过了t秒，可乐机器人的行为方案数是多少？

输入输出格式

输入格式：

第一行输入两个正整数况N,M，N表示城市个数，M表示道路个数。（1 <= N <=30,0 < M < 100)

接下来M行输入u,v，表示u，v之间有一条道路。（1<=u,v <= n)保证两座城市之间只有一条路相连。

最后输入入时间t

输出格式：

输出可乐机器人的行为方案数，答案可能很大，请输出对2017取模后的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 2
1 2
2 3
2

输出样例#1： 复制

8

说明

【样例解释】

1 ->爆炸

1 -> 1 ->爆炸

1 -> 2 ->爆炸

1 -> 1 -> 1

1 -> 1 -> 2

1 -> 2 -> 1

1 -> 2 -> 2

1 -> 2 -> 3

【数据范围】

对于20%的pn，有1 < t ≤ 1000

对于100%的pn，有1 < t ≤ 10^6。

题解

题意：给定一个无向图，一个机器人每一秒可以留在原地，自爆或走一步，求在t秒内机器人所有行动的可能性

算法：邻接矩阵+矩阵乘法

建模：图直接建，留在原地则让每一个点向自己连边，自爆则设一个点为爆炸，每一个点向爆炸点连边（爆炸点向自己连边）

base.m[0][0]=1;
for(int i=1;i<=L;i++){
    base.m[i][i]=base.m[i][0]=1;
}
for(int i=1;i<=M;i++){
    int ii,jj;
    scanf("%d%d",&ii,&jj);
    base.m[ii][jj]=base.m[jj][ii]=1;
}

设f[i][j][t]为从i到j进过t秒的行动方案数，类似于Floyd的转移，有f[i][j][t₁+t₂]=∑f[i][k][t₁]+f[k][j][t₁]

设f[][][x]为f[x]，故矩阵f[t₁+t₂]=f[t₁]*f[t₂]，即可用矩阵乘法，而此题答案就为f[1]^t，矩阵快速幂即可

矩阵乘法及快速幂：

inline matrix operator*(matrix x,matrix y){
    matrix ret;
    for(int i=0;i<=L;i++){
        for(int j=0;j<=L;j++)
            for(int k=0;k<=L;k++)
                ret.m[i][j]=(ret.m[i][j]+x.m[i][k]*y.m[k][j])%MOD;
    }
    return ret;
}
inline matrix operator^(matrix x,int p){
    matrix ret;
    ret.build();
    while(p){
        if(p&1)
            ret=ret*x;
        x=x*x;
        p>>=1;
    }
    return ret;
}

核心代码：

ans=(base^T);
LL sum=0;
for(int i=0;i<=L;i++){
　　sum=(sum+ans.m[1][i])%MOD;
}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD=2017,MAXL=32;
int L,M,T;
struct matrix{
    LL m[MAXL][MAXL];
    matrix(){
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
    inline void build(){
        memset(m,0,sizeof(m));
        for(int i=0;i<=L;i++)
            m[i][i]=1;
    }
    inline void print(){
        for(int i=0;i<=L;i++,putchar('
'))
            for(int j=0;j<=L;j++)
                printf("%lld ",m[i][j]);
        putchar('
');
    }
};
inline matrix operator*(matrix x,matrix y){
    matrix ret;
    for(int i=0;i<=L;i++){
        for(int j=0;j<=L;j++)
            for(int k=0;k<=L;k++)
                ret.m[i][j]=(ret.m[i][j]+x.m[i][k]*y.m[k][j])%MOD;
    }
    return ret;
}
inline matrix operator^(matrix x,int p){
    matrix ret;
    ret.build();
    while(p){
        if(p&1)
            ret=ret*x;
        x=x*x;
        p>>=1;
    }
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&L,&M);
    matrix ans,base;
    ans.build();
    base.m[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=L;i++){
        base.m[i][i]=base.m[i][0]=1;
    }
    for(int i=1;i<=M;i++){
        int ii,jj;
        scanf("%d%d",&ii,&jj);
        base.m[ii][jj]=base.m[jj][ii]=1;
    }
    scanf("%d",&T);
    ans=(base^T);
    LL sum=0;
    for(int i=0;i<=L;i++){
        sum=(sum+ans.m[1][i])%MOD;
    }
    printf("%lld",sum);
    return 0;
}