1. 欧拉公式的发现
1740年10月8日，欧拉（Leonhard Euler ，1707～1783）写了一封信给他的老师约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667 ～ 1748），信中他提到一个发现，微分方程：
微分方程的解可以用两种方式给出，即：
微分方程的两个解
把两个解带入方程，很容易验证其正确性。（注：当时虚数还未被数学界公认，复平面的概念要到1799年才被韦塞尔提出来）
最初欧拉对这个问题确实感到纳闷，不过以他那非凡的数学灵感，他意识到，这两个看上去相差很大的表达式，其实是相等的，后来欧拉用“i”来表示虚数单位，并沿用沿用至今，于是欧拉猜测：
欧拉第一方程
在给约翰·伯努利的另外一封信中，还清楚地看到，欧拉还知道：
欧拉第二方程
欧拉的继续研究中，关于自然对数的幂级数展开验证了这两个公式，更增强了他对以上两个公式的信心，于是在1948年，欧拉在他的著作《无穷小分析引论》中，正式提出了欧拉公式。
欧拉公式
2. 复平面上的单位圆
在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：
3.对同一个点不同的描述方式
4. 欧拉公式的证明(欧拉公式与泰勒公式)
5.为什么 是圆周运动？
从图上可以推出 时，
在单位圆上转动了1弧度。
再来看看 ，这个应该是在单位圆上转动
弧度：
看来 确实是单位圆周上的圆周运动。
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