求斐波拉契数列第n位算法优化

在面试题中经常遇到求斐波拉契数列值的问题，最常见算法是使用递归的方式，本篇博客介绍如何优化该算法性能。

斐波拉契数列的特性是：n=(n-2)+(n-1)

首先使用递归的方式求斐波拉契数列第30位：

static void Main(string[] args)
{
    Stopwatch sw = new Stopwatch();
    sw.Start();
    Console.WriteLine(Fun(30));
    sw.Stop();
    Console.WriteLine("总运行时间：" + sw.Elapsed);
    Console.WriteLine("测量实例得出的总运行时间（毫秒为单位）：" + sw.ElapsedMilliseconds);
    Console.WriteLine("总运行时间(计时器刻度标识)：" + sw.ElapsedTicks);
    Console.WriteLine("计时器是否运行：" + sw.IsRunning.ToString());
}

public static int Fun(int n)
{
    if (n == 1 || n == 2)
    {
        return 1;
    }
    return Fun(n - 2) + Fun(n - 1);
}

执行结果：

递归的方式致使 Fun() 方法被多次重复调用，此时的空间复杂度为 O(n)，时间复杂度为 O(2ⁿ)，n的值越大，时间复杂度也就越大。为避免Fun() 被多次重复调用，减小时间复杂度，我们可以用数组来存储计算出来的数据。

public static int Fun(int n)
{
    int[] array = new int[n];
    array[0] = 1;
    array[1] = 1;
    for (int i = 2; i < n; i++)
    {
        array[i] = array[i - 2] + array[i - 1];
    }
    return array[n - 1];
}

执行结果：

运行程序时间比递归方式的小，效率明显提升，此时时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)，但是我们发现，在计算n的值时，我们只需最新的三个数，前面的数就不需要了，那么我们可以定义三个常量来减少空间复杂度。

public static int Fun(int n)
{
    int first = 1;
    int second = 1;
    int third = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++)
    {
        third = first + second;
        first = second;
        second = third;
    }
    return third;
}

执行结果：

此时程序运行时间和上个方法相差无几，但是此时的空间复杂度从 O(n) 变成了0，时间复杂度为 O(n)，所以这种方式是非常高效的。