C. 自闭的游戏

C. 自闭的游戏

小S在玩一个自闭的游戏。
有一个骰子，这个骰子有(m)个面分别写着 (1cdots m)
并且投掷时每面朝上的概率相同。
现在，小S投了这个骰子(n)次，并且告诉小T点数(v)至少出现了一次。
小T需要猜测一个正整数(sum)，表示她猜测的这(n)次骰子的点数之和是多少。
现在，他想要知道玩家的正确率有多少呢？

输入格式

一行四个正整数，分别表示(n,m,v,sum)。

输出格式

一行一个实数，表示猜对的概率。你的答案被认为是正确的，当且仅当绝对或相对精度误差(le 10^{-6})。

样例

样例一

input

2 6 6 12

output

0.09090909

样例二

input

2 3 2 4

output

0.20000000

约定与限制

对于(10\%) 的数据，满足 (1 le n le 1)。
对于(40\%) 的数据，满足 (1 le n,m le 20)。
对于(100\%) 的数据 ，满足 (1 le n,m le 50) ，(1le vle m)，(1le sumle n imes m)。

时间限制:1s
空间限制:128MB

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解题报告

题意理解

有(n)个点，每个点的取值范围是([1,n])，已知在这(n)个点中，至少有一个点的值为(v)，将这个(n)个点的和累加，得到值(x)
问：当(x=sum)的时候的取数方案数占总合法取数方案数的比例？

(40pts)思路

我们可以使用暴力搜索，算出每一种方案数，然后再统计合法方案。

代码略

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(100pts)思路

我们观察这道题目，发现以下几种性质。

1. 题目并不关心我们的具体方案，只需要方案数（属性为统计）
2. 至少有一个数是(v) （限制条件）
3. 前面取什么数字，和后面取什么数字并没有任何影响。（无后效性）

那么上面这些性质，就可以保证，这道题目可以使用动态规划算法。

我们接着讨论，如何描述这个状态。

我们发现，这道题目具有明显的线性性质

我们可以把，每一次甩骰子，作为我们的阶段。

[f[i] quad 表示此时选到了第i个数 ]

接着题目关心，我们这些数的和。

[f[i][k] quad 表示此时选到了第i个数，这些数的和是k ]

接着题目的限制条件是，这些数中是否至少有一个数是(v)

[f[i][k][0/1] quad 表示此时选到了第i个数，这些数的和是k \\ 0表示没有一个v，1表示至少有一个v ]

那么状态转移方程是什么呢？自然就是我们的背包动态规划的模样了。

假如说，此时我们第(i)个数，他的值是(j)

f[i][k][0]+=f[i-1][k-j][0]
//到目前都没有出现v，那么推来的状态，也不可以出现v 
if (j!=v)//当前选择元素不是v
    f[i][k][1]+=f[i-1][k-j][0]
//现在已经出现v了，而本次没有选择v，那么推来的状态，必须出现过v
if (j==v)
    f[i][k][1]+=f[i-1][k-j][0]+f[i-1][k-j][1];
//因为本次选择了v，之前是否选择v没有限制

代码解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=52;
int n,m,v,sum;
double f[N][N*N][2];
inline void init()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&sum);
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=1; j<=m; j++)
			for(int k=max(i,j); k<=i*m; k++)
			{
				f[i][k][j==v]+=f[i-1][k-j][0];
				f[i][k][1]+=f[i-1][k-j][1];
				//这里代码和上面解释是一样的，只不过是不同的写法而已
			}
	double ans=0;
	for(int j=1; j<=n*m; j++)
		ans+=f[n][j][1];//合法方案，要求是必须选择v的
	printf("%.8lf
",f[n][sum][1]/ans);//保证精度
}
signed main()
{
	init();
	return 0;
}