【LeetCode】188、买卖股票的最佳时机 IV

Best Time to Buy and Sell Stock IV

题目等级：Hard

题目描述：

Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most k transactions.

Note:
You may not engage in multiple transactions at the same time (ie, you must sell the stock before you buy again).

Example 1:

Input: [2,4,1], k = 2
Output: 2
Explanation: Buy on day 1 (price = 2) and sell on day 2 (price = 4), profit = 4-2 = 2.

Example 2:

Input: [3,2,6,5,0,3], k = 2
Output: 7
Explanation: Buy on day 2 (price = 2) and sell on day 3 (price = 6), profit = 6-2 = 4.
             Then buy on day 5 (price = 0) and sell on day 6 (price = 3), profit = 3-0 = 3.

  题意：给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。设计一个算法来计算所能获取的最大利润。最多允许完成k次交易，必须在再次购买前出售掉之前的股票。

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解题思路（动态规划）：

  股票怎么都买卖不完了。。。。

  本题是股票买卖系列的第四题，前面三道分别处理了一次交易、无数次交易、两次交易的情形，其主要思想就是动态规划，这里直接扩展到了任意次（k次），难度可以说是相当大了，自己没有什么思路，参考了网上的解答，这里做一个解释和记录吧。

  和前面三道一样，动态规划仍然是解决此题的思路，只不过这里的状态定义很复杂。

  这里定义两个变量，local和global分别表示全局最优和局部最优，定义如下：local[i][j]表示在到达第i天时最多可进行j次交易并且最后一次交易在最后一天卖出的最大利润，此为局部最优。global[i][j]表示到达第i天时最多可进行j次交易的最大利润，此为全局最优。

  我们首先来看global，它代表全局最优，那么global[i][j] = max(local[i][j], global[i - 1][j])，这个相对好理解一些，是动态规划的常规用法，全局最优等于前一天的全局最优和当前的局部最优的较大者。

  而local的更新比较复杂，主要是注意local[i][j]表示的是最后一支股票在第i天卖出，也就是第 i 天卖第 j 支股票，这样的话有三种情况：

• 之前已经将j次交易进行完了，最后一次是今天买，今天卖，相当于啥也没干，则 Local(i, j) = Global(i-1, j-1).
• 第j次交易是昨天买的，第i天卖，则Local(i, j) = Global(i-1, j-1) + diff
• 第j次交易是更早之前买的，第i天卖，则Local(i, j) = Local(i-1, j) + diff，也就是Local(i-1, j)代表最后一次交易第i-1天卖出，加diff就是说昨天不卖，留到今天卖。

  其中diff=prices[i]-prices[i-1]

  由此分析，可以得出local的递推公式：local[i][j] = max(global[i - 1][j - 1], local[i - 1][j]) + diff

  所以，总结起来，本题的解题思路是以下三个公式：

diff = prices[i] - prices[i - 1]
global[i][j] = max(local[i][j], global[i - 1][j])
local[i][j] = max(global[i - 1][j - 1], local[i - 1][j]) + diff

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  根据这个分析，给出以下代码实现：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if(prices==null || prices.length==0)
            return 0;
        int len=prices.length;
        if(len<2||k<1)
            return 0;
        if(k>=len) //交易次数多于天数，可以按照无数次来直接解决
            return getMax(prices);
        int[] global=new int[k+1];
        int[] local=new int[k+1];
        for(int i=0;i<len-1;i++){
            int diff=prices[i+1]-prices[i];
            for(int j=k;j>=1;--j){   //为了取到上一次的global[j-1],需要从后往前遍历，否则会覆盖
                local[j]=Math.max(global[j-1],local[j])+diff;
                global[j]=Math.max(global[j],local[j]);
            }
        }
        return global[k];
    }
    public int getMax(int[] prices){
        int res = 0;
        for (int i = 1; i < prices.length; ++i) {
            if (prices[i] > prices[i - 1])
                res += (prices[i] - prices[i - 1]);
        }
        return res;
    }
}

  时间复杂度：O(n*k)，空间复杂度：O(2k)

总结

  太难了。。。本题确实有相当的难度，如何确定状态和确定递推关系很复杂，另外代码实现中一位数组代替二维也是一个很好的解决办法。这也是买卖股票这些题目中最难的一道了，接下来还有两道相关的变形。