01背包问题

1、01背包

例如：https://www.luogu.com.cn/problem/P1060

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

https://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810

有两种解法，一维和二维的

问题描述：有n件物品和容量为m的背包 给出i件物品的重量以及价值 求解让装入背包的物品重量不超过背包容量 且价值最大 。
特点:这是最简单的背包问题，特点是每个物品只有一件供你选择放还是不放。
① 二维解法
设f[i][j]表示前 i 件物品 总重量不超过 j 的最大价值 可得出状态转移方程
f[i][j]=max{f[i-1][j-a[i]]+b[i], f[i-1][j]}

代码： 
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m;j>0;j--){
        if(a[i]<=j)
           f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-a[i]]+b[i]);
        else f[i][j]=f[i-1][j];
    }

在一些情况下 题目的数据会很大 因此f数组不开到一定程度是没有办法ac。

②一维解法
设f[j]表示重量不超过j公斤的最大价值 可得出状态转移方程
f[j]=max{f[j], f[j−a[i]]+b[i]

 代码：
 for(int i=1;i<=n;i++){       
      for(int j=m;j>=a[i];j--)
          f[j]=max(f[j], f[j-a[i]]+b[i]);  
    }