网络流专题 模板 + 例题 （Going Home POJ

最大流

Dinic

       建图时必须要建一条流量为0的反向边：建立反向边是为了增加重新调整的机会，即保障解是最优的。

应用场景：

     1、裸的最大流

     2、二分图的最大匹配：建一个点S，连到二分图的集合A中；建一个点T，连到二分图的集合B中。再将所有的集合A中的点与       集合B中的点相连。全部边权设为1，跑一遍最大流，结果即为二分图的最大匹配。

     3、最小割：图中所有的割中，边权值和最小的割为最小割。  在单源单汇流量图中，最大流等于最小割。

     4、求最大权闭合图（这里）：权值=正点权之和-最小割

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MOD 998244353 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))  
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;

const int maxn= 200 + 5;  //点
const int maxm= 2000 + 5;  //边
int n,m,cnt=0;
int head[maxn];
int dis[maxn];
struct node{
	int e,v,nxt;
}edge[maxm<<1];

inline void addl(int u,int v,int w)
{
	edge[cnt].e=v;
	edge[cnt].v=w;
	edge[cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt++;
}
bool bfs()
{
	mem(dis,-1);
	dis[1]=0;
	queue<int>q;
	q.push(1);
	while(!q.empty()){
		int r=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[r];i!=-1;i=edge[i].nxt)
		{
			int j=edge[i].e;
			if(dis[j]==-1&&edge[i].v)
			{
				dis[j]=dis[r]+1;
				q.push(j);
			}
		}
	}
	return dis[n]!=-1;
}
int dfs(int u,int flo)
{
	if(u==n)return flo;
	int detla=flo;
	for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
	{
		int v=edge[i].e;
		if(dis[v]==(dis[u]+1)&&edge[i].v>0)
		{
			int d=dfs(v,min(detla,edge[i].v));
			edge[i].v-=d;
			edge[i^1].v+=d;
			detla-=d;
			if(detla==0)break;
		}
	}
	return flo-detla;
}
int Dinic()
{
	int ans=0;
	while(bfs())
	{
		ans+=dfs(1,INF);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
		mem(head,-1);
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int a,b,c;
			scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
			addl(a,b,c);
			addl(b,a,0); //*
		}
		printf("%d
",Dinic());
	}
	return 0;
}

 最小费用最大流 

spfa

        反边的流量是0，花费是相反数。 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MOD 998244353 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))  
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;

const int maxn = 100010;

bool vis[maxn];
int n,m,s,t;
int dis[maxn],pre[maxn],last[maxn],flow[maxn],maxflow,mincost;

struct node{
    int to,nxt,flow,dis;  //flow流量 dis花费 
}edge[maxn];
int head[maxn],cnt=0;

void addl(int u,int v,int flow,int dis)
{
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].flow=flow;
    edge[cnt].dis=dis;
    edge[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt++;
}

bool spfa(int s,int t)
{
    mem(dis,INF);
    mem(flow,INF);
    mem(vis,0);
    queue<int>q;
    q.push(s);
    vis[s]=1;
    dis[s]=0;
    pre[t]=-1;
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();
        q.pop();
        vis[now]=0;
        for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        {
            if(edge[i].flow>0&&dis[edge[i].to]>dis[now]+edge[i].dis)
            {
                dis[edge[i].to]=dis[now]+edge[i].dis;
                pre[edge[i].to]=now;
                last[edge[i].to]=i;
                flow[edge[i].to]=min(flow[now],edge[i].flow);
                if(!vis[edge[i].to])
                {
                    vis[edge[i].to]=1;
                    q.push(edge[i].to);
                }
            }
        }
    }
    return pre[t]!=-1;
}
void MCMF()
{
    while(spfa(s,t))
    {
        int now=t;
        maxflow+=flow[t];
        mincost+=flow[t]*dis[t];
        while(now!=s)
        {
            edge[last[now]].flow-=flow[t];
            edge[last[now]^1].flow+=flow[t];
            now=pre[now];
        }
    }
}
int main()
{
    mem(head,-1);
    mem(pre,-1);
    cnt=0;
    maxflow=0;
    mincost=0;
    scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,c,d;
        scanf("%d %d %d %d",&a,&b,&c,&d);
        addl(a,b,c,d);
        addl(b,a,0,-d);  //反边的流量是0，花费是相反数
    }
    MCMF();
    printf("%d %d",maxflow,mincost);
    return 0;
}

 例题

1、Going Home POJ - 2195

      题目大意：一幅图上有若干个人和房子，房子和人的数量相等，每个格子的距离是1，问你所有人回到任意一个房子且没有相同房子时，最少的花费是多少。

      解题思路：建立一个源点与每个人相连，花费为0，流量为1，把每个人和每个房子都连接，边的权值（花费）就是距离，流量设为1，建立一个汇点，把每个房子与汇点连接，花费为0，流量为1，跑一遍最小花费最大流即可。

      代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#define ll long long
#define ull unsigned long long 
#define MOD 998244353 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))  
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;

const int maxn = 100010;

bool vis[maxn];
int n,m,s,t;
int dis[maxn],pre[maxn],last[maxn],flow[maxn],maxflow,mincost;

struct node{
    int to,nxt,flow,dis;  //flow流量 dis花费 
}edge[maxn];
int head[maxn],cnt=0;

void addl(int u,int v,int flow,int dis)
{
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].flow=flow;
    edge[cnt].dis=dis;
    edge[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt++;
}

bool spfa(int s,int t)
{
    mem(dis,INF);
    mem(flow,INF);
    mem(vis,0);
    queue<int>q;
    q.push(s);
    vis[s]=1;
    dis[s]=0;
    pre[t]=-1;
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();
        q.pop();
        vis[now]=0;
        for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        {
            if(edge[i].flow>0&&dis[edge[i].to]>dis[now]+edge[i].dis)
            {
                dis[edge[i].to]=dis[now]+edge[i].dis;
                pre[edge[i].to]=now;
                last[edge[i].to]=i;
                flow[edge[i].to]=min(flow[now],edge[i].flow);
                if(!vis[edge[i].to])
                {
                    vis[edge[i].to]=1;
                    q.push(edge[i].to);
                }
            }
        }
    }
    return pre[t]!=-1;
}
void MCMF()
{
    while(spfa(s,t))
    {
        int now=t;
        maxflow+=flow[t];
        mincost+=flow[t]*dis[t];
        while(now!=s)
        {
            edge[last[now]].flow-=flow[t];
            edge[last[now]^1].flow+=flow[t];
            now=pre[now];
        }
    }
}
struct man1{
   int x,y;
}man[105];
struct home1{
   int x,y;
}home[105];
int main()
{
    int cc,kk;
    while(~scanf("%d %d",&cc,&kk)){
      getchar();
      mem(head,-1);
      mem(pre,-1);
      if(cc==0)break;
    cnt=0;
    maxflow=0;
    mincost=0;
    int num1=0,num2=0;  
    char c;
    for(int i=1;i<=cc;i++){
      for(int j=1;j<=kk;j++){
         scanf("%c",&c);
         if(c=='m'){
            man[++num1].x=i;
            man[num1].y=j;
         }else if(c=='H'){
            home[++num2].x=i;
            home[num2].y=j;
         }
      }
      getchar();
    }
    int p=num1;
    s=0;
    t=2*p+1;
    for(int i=1;i<=p;i++){
       addl(0,i,1,0);
       addl(i,0,0,0);
       addl(p+i,2*p+1,1,0);
       addl(2*p+1,p+i,0,0);
       for(int j=1;j<=p;j++){
          int d=abs(man[i].x-home[j].x)+abs(man[i].y-home[j].y);
          //cout<<i<<" "<<j+p<<" "<<d<<endl;
          addl(i,j+p,1,d);
          addl(j+p,i,0,-d);
       }
    }
    MCMF();
    cout<<mincost<<endl;
  }
    return 0;
}

2、Dining   POJ - 3281

     题目大意：有N头牛 ，F种食物，D种饮料，给你每头牛喜欢的食物和饮料，问你最多可以满足几头牛的需要。

     解题思路：难点即建图。建图时需要把牛拆开，把一头牛分为牛左 和 牛右，首先建立一个源点，从原点引出向食物的有向边，流量为1，在从食物引出向牛左的有向边，也就是与喜欢这种食物的牛相连，流量为1，然后再从牛左引出向牛右的有向边，流量为1，再从牛右引出向饮料的有向边，流量为1，最后将饮料引入汇点即可，最后跑一边最大流即可。

     代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#define ll long long
#define MOD 998244353 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))  
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;

const int maxn= 2000 + 5;  //点
const int maxm= 2000 + 5;  //边
int n,m,cnt=0;
int head[maxn];
int dis[maxn];
struct node{
    int e,v,nxt;
}edge[maxm<<1];

inline void addl(int u,int v,int w)
{
    edge[cnt].e=v;
    edge[cnt].v=w;
    edge[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
bool bfs()
{
    mem(dis,-1);
    dis[0]=0;
    queue<int>q;
    q.push(0);
    while(!q.empty()){
        int r=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[r];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        {
            int j=edge[i].e;
            if(dis[j]==-1&&edge[i].v)
            {
                dis[j]=dis[r]+1;
                q.push(j);
            }
        }
    }
    return dis[n]!=-1;
}
int dfs(int u,int flo)
{
    if(u==n)return flo;
    int detla=flo;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
    {
        int v=edge[i].e;
        if(dis[v]==(dis[u]+1)&&edge[i].v>0)
        {
            int d=dfs(v,min(detla,edge[i].v));
            edge[i].v-=d;
            edge[i^1].v+=d;
            detla-=d;
            if(detla==0)break;
        }
    }
    return flo-detla;
}
int Dinic()
{
    int ans=0;
    while(bfs())
    {
        ans+=dfs(0,INF);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    mem(head,-1);
    cnt=0;
    n=500;
    int N,F,D;
    scanf("%d %d %d",&N,&F,&D);
    for(int i=1;i<=F;i++){
        addl(0,i+200,1);
        addl(i+200,0,0);
    }
    for(int i=1;i<=D;i++){
        addl(i+300,500,1);
        addl(500,i+300,0);
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int a,b,c;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        for(int j=1;j<=a;j++){
            scanf("%d",&c);
            addl(c+200,i,1);
            addl(i,c+200,0);
        }
        addl(i,i+100,1);
        addl(i+100,i,0);
        for(int j=1;j<=b;j++){
            scanf("%d",&c);
            addl(i+100,c+300,1);
            addl(c+300,i+100,0);
        }
    }
    int num=Dinic();
    cout<<num<<endl;
    return 0;
}