980. Unique Paths III

问题：

给定一个棋盘，

•  0：可以走的路径
•  1：起点（有且只有一个）
•  2：终点（有且只有一个）
• -1：障碍物，不可走的路径

求从起点到终点，走遍所有可走路径（仅经过一次），的所有路线的可能数。

Example 1:
Input: [[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]]
Output: 2
Explanation: We have the following two paths: 
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2)
2. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2)

Example 2:
Input: [[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,2]]
Output: 4
Explanation: We have the following four paths: 
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)
2. (0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
3. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
4. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2),(2,3)

Example 3:
Input: [[0,1],[2,0]]
Output: 0
Explanation: 
There is no path that walks over every empty square exactly once.
Note that the starting and ending square can be anywhere in the grid. 

Note:
1 <= grid.length * grid[0].length <= 20

　　

解法：Backtracking（回溯算法）

• 状态：当前走到的格子（i，j），已经走过的步数step
• 选择：上下左右四个方向（i+1，j）（i，j+1）（i-1，j）（i，j-1）
  • ⚠️  注意：排除以下无效格子：
    • 超出棋盘 i<0 i>=n j<0 j>=m
    • 已经走过：visited[i][j]==true
    • 障碍物：grid[i][j]==-1
  • ⚠️  注意：
    • 在当前格子开始进行下一步之前，记得标记本格子已经走过：visited[i][j]=true
    • 在尝试完四个方向后，递归函数返回之前，擦除走过标记：visited[i][j]=false
• 退出递归条件：
  • 已经走够步数step==w，同时到达终点格子，则找到一个解：res++，return
  • 已经走够步数step==w，未到达终点，return
  • 未走够步数，到达终点，return

代码参考：

class Solution {
public:
    int n;
    int m;
    int w;
    int si=0,sj=0, ei=0,ej=0;
    bool isValid(vector<vector<int>>& grid, vector<vector<bool>>& visited, int i, int j) {
        if(i<n && i>=0 && j<m && j>=0 && grid[i][j]!=-1 && visited[i][j]==false) return true;
        else return false;
    }
    void dfs(int& res, vector<vector<int>>& grid, vector<vector<bool>>& visited, int i, int j, int step) {
        if(step==w) {
            if(i==ei && j==ej) res++;
            return;
        }
        if(i==ei && j==ej) return;
        
        visited[i][j] = true;
        if(isValid(grid, visited, i+1, j)) dfs(res, grid, visited, i+1, j, step+1);
        if(isValid(grid, visited, i, j+1)) dfs(res, grid, visited, i, j+1, step+1);
        if(isValid(grid, visited, i-1, j)) dfs(res, grid, visited, i-1, j, step+1);
        if(isValid(grid, visited, i, j-1)) dfs(res, grid, visited, i, j-1, step+1);
        visited[i][j] = false;
        return;
    }
    int uniquePathsIII(vector<vector<int>>& grid) {
        int res = 0;
        n=grid.size();
        m=grid[0].size();
        w=n*m;
        vector<vector<bool>> visited(n, vector<bool>(m, false));
        for(int i=0; i<n; i++) {
            for(int j=0; j<m; j++) {
                if(grid[i][j]==1) {
                    si=i, sj=j;
                } else if(grid[i][j]==2) {
                    ei=i, ej=j;
                } else if(grid[i][j]==-1) {
                    w--;
                }
            }
        }
        
        dfs(res, grid, visited, si, sj, 1);
        return res;
    }
};