343. Integer Break

问题：

将给定正整数n，拆成多个数。（使得这些数之和=n）

这些数之积最大是多少。

Example 1:
Input: n = 2
Output: 1
Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1.

Example 2:
Input: n = 10
Output: 36
Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36.
 
Constraints:
2 <= n <= 58

　　

解法：DP，math

解法一：DP

• 状态：dp[n]：n被拆分后所得最大乘积
  • 要被拆分的数 n
• 选择：
  • 拆出去x=1～n-1中任意数，和剩下的数n-x，被拆分后的最大乘积，相乘所得结果中的最大值。
  • MAX {（x：1～n-1）
    • dp[n-x] * x
  • }
• base:
  • dp[1]=1
  • dp[2]=1

⚠️ 注意：当得到 当前数 n 的拆分最大结果 dp[n] 后，

为求解后面的数 >n ，n 自己也可作为乘数，不拆分，因此dp[n] = max(n,dp[n])，用 自己 和 刚才求得结果dp[n] 之间，再求最大值。

代码参考：

class Solution {
public:
    //dp[n]:maximum product of divide n.
    //opt: MAX:(x=1~n-1)
    // = dp[n-x] * x
    //base:
    //dp[1]=1
    //dp[2]=1
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n+1,0);
        int res = 0;
        dp[1]=1;
        dp[2]=1;
        for(int i=3; i<=n; i++) {
            dp[i-1] = max(i-1, dp[i-1]);
            //i-1: as itself(not to divide) -> for other element calculate.
            for(int x=2; x<=i-1; x++) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[i-x]*x);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

解法二：math

思路：要使 拆分n 的乘积取得最大。

我们先考虑，将 n 拆分为两个数 f=x(N-x) （以后在递归拆分这两个数即可）

怎么样才能使得 f 最大，可得：

x=N/2，我们能得到最大。

由于根据题意，我们需要拆分成两个正整数。那么分奇偶性讨论：

• N为偶数：（N/2）*（N/2）
• N为奇数：（（N+1）/2） * （（N-1）/2）

要使其结果>=N

那么可得：

• N为偶数：N>=4
• N为奇数：N>=5

也就是说，只要N>=4，都可被拆分成两个更小的数，使得乘积更大。

那么，能作为乘积的数只有：1，2，3

• 1*任何数都不能变大，因此排除 1
• 只能在2 和 3 中选择拆分因数。
  • 我们优先选择3，理由是：
    • 例如 N=6，
    • 3*3>2*2*2
  • 我们选择先拆分为3，能得到选择2更大的结果。

总结：

我们对N>=4的数可进行优先拆分出3，循环拆分，

直到拆分不出来3，就其次选择2。

⚠️ 注意，要排除最终拆出个 1 的情况，这样只会削减结果。

例如，4->

先拆分 3 的话，剩下一个 1。因此我们不能选择这种拆法

其次选择拆分 2，再留下个 2。选择这种拆分法。

代码参考：

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if(n==2) return 1;
        if(n==3) return 2;
        int product = 1;
        while(n>4) {
            product *= 3;
            n-=3;
        }
        product *= n;
        return product;
    }
};