欧几里得算法与扩展欧几里得算法_C++

先感谢参考文献：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

注：以下讨论的数均为整数

一、欧几里得算法（重点是证明，对后续知识有用）

　　欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数

　　定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数

　　引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

　　证明：

　　　　设 r=a%b , c=gcd(a,b)

　　　　则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质

　　　　r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c

　　　　而b=yc

　　　　可知：y 与 x-py 互质

　　　　证明：

              　　假设 y 与 x-py 不互质

              　　设 y=nk , x-py=mk , 且 k>1 （因为互质）

             　　 将 y 带入可得

              　　x-pnk=mk

              　　x=(pn+m)k

             　　 则 a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc

              　　那么此时 a 与 b 的最大公约数为 kc 不为 k

              　　与原命题矛盾，则 y 与 x-py 互质

　　　　因为 y 与 x-py 互质，所以 r 与 b 的最大公约数为 c

　　　　即 gcd(b,r)=c=gcd(a,b)

　　　　得证

　　当a%b=0时，gcd(a,b)=b

　　这样我们可以写成递归形式

inline int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

　　模板题：http://codevs.cn/problem/1212/ 

二、扩展欧几里得算法

 　　扩展欧几里得算法，简称 exgcd，一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等

　　引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by

　　证明：

       　　当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0

       　　当 b!=0 时，

　　       设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

       　　又因 a%b=a-a/b*b

       　　则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

　　　　ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

　　　　ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

　　　　ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

　　　　解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

　　　　因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

　　　　而每一组的解可根据后一组得到

　　　　所以第一组的解 x , y 必然存在

　　　　得证

　　根据上面的证明，在实现的时候采用递归做法

　　先递归进入下一层，等到到达最后一层即 b=0 时就返回x=1 , y=0

　　再根据 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 与 y’ 为下一层的 x 与 y ) 得到当层的解

　　不断算出当层的解并返回，最终返回至第一层，得到原解

inline void exgcd(int a,int b)
{
    if (b)
        {
            exgcd(b,a%b);
            int k=x;
            x=y;
            y=k-a/b*y;
        }
    else y=(x=1)-1;
}

三、exgcd 解不定方程（使用不将a与b转为互质的方法）

　　对于 ax+by=c 的不定方程，设 r=gcd(a,b)

　　当 c%r!=0 时无整数解

　　当 c%r=0 时，将方程右边 *r/c 后转换为 ax+by=r 的形式

　　可以根据扩展欧几里得算法求得一组整数解 x0 , y0

　　而这只是转换后的方程的解，原方程的一组解应再 *c/r 转变回去

　　（如 2x+4y=4 转换为 2x+4y=2 后应再将解得的 x , y 乘上2）

　　则原方程解为 x1=x0*c/r , y1=x0*c/r

　　通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ，其中 t 为整数

　　证明：

　　　　将 x , y 带入方程得

　　　　ax+ab/r*t+by-ab/r*t=c

　　　　ax+by=c

　　　　此等式恒成立

　　　　得证

　　这里 b/r 与 a/r 为最小的系数，所以求得的解是最多最全面的

　　证明：

　　　　为了推出证明中的 ax+by=c ，且想达到更小的系数，只能将 b/r 与 a/r 同除以一个数 s

　　　　而 b/r 与 a/r 互质，且 s 为整数，则 s=1 ，不影响通解

　　　　那么 b/r 与 a/r 就为最小的系数

　　　　得证

　　模板题：http://www.cnblogs.com/hadilo/p/5917173.html

四、exgcd 解线性同余方程

　　关于 x 的模方程 ax%b=c 的解

　　方程转换为 ax+by=c 其中 y 一般为非正整数

　　则问题变为用 exgcd 解不定方程

　　解得 x1=x0*c/r

　　通解为 x=x1+b/r*t

　　设 s=b/r （已证明 b/r 为通解的最小间隔）

　　则 x 的最小正整数解为 (x1%s+s)%s

　　证明：

　　　　若 x1>0，则 (x1%s+s)%s=x1%s%s+s%s=x1%s=x1-ts (t∈N)

　　　　若 x1<0，因在 C++ 里 a%b=-(-a%b)<0 (a<0 , b>0)  如 -10%4=-2

　　　　　　　　 则 (x1%s+s)%s=(-(-x1%s)+s)%s=(-(ts-x1)+s)%s=ts-x1 (t∈N)

　　　　即为 x1 通过加或减上若干个 s 后得到的最小正整数解

　　　　得证

　　亦可伪证 x1<0 的情况：设 x1=-5 , s=2

　　　　　　　　　　　　  则 (x1%s+s)%s=(-5%2+2)%2=(-1+2)%2=3%2=1

　　　　　　　　　　　　  即为 x1 加上 3 个 s 后的到的最小正整数解

　　模板题：http://www.cnblogs.com/hadilo/p/5951091.html

　

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