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在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。[1]
两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：
a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。
使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：
a·b=a^T*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。
中文名
数量积
外文名
dot product; scalar product
别    名
标量积、点积、内积、向量的积
运算类型
二元运算
点积的三个值
u、v、u,v夹角的余弦
点积的值
u,v的点积=|u||v|cos<u,v>
应用学科
线性代数

目录

  1. 1 定义
  2. ▪ 广义定义
  3. ▪ 代数定义
  1. ▪ 几何定义
  2. ▪ 定义的等价性
  3. 2 点积的值
  1. 3 运算律
  2. 4 应用

点积定义

点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。[1]

点积广义定义

在一个向量空间V中，定义在
上的正定对称双线性形式函数即是V的数量积，而添加有一个数量积的向量空间即是内积空间。

点积代数定义

设二维空间内有两个向量
和
，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：
更一般地，n维向量的内积定义如下：[1] 

点积几何定义

设二维空间内有两个向量
和
，它们的夹角为
，则内积定义为以下实数：[2]
该定义只对二维和三维空间有效。
这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

点积定义的等价性

以三维空间为例子。
①几何定义推导代数定义
设
，
，根据向量坐标的意义可知
根据点乘的分配律得
又
，
所以
注意：点乘的分配律在空间内可通过几何证明，无需藉助向量关系，因此不属于循环推导。
 
②代数定义推导几何定义
设
，
，它们的终点分别为
和
，原点为O，
夹角为
。则
在△OAB中，由余弦定理得：
利用距离公式对这个等式稍作处理，得
去括号、合并得
注意：余弦定理和距离公式亦无需向量知识。

点积点积的值

u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。[2]
点积 点积
两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。
向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。

点积运算律

交换律：
分配律：
结合律：
，其中m是实数。

点积应用

平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。如证明：[3] 
（1）勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，则
|CA|²+|CB|²=|AB|²。
∵AB = CB-CA
∴AB²=(CB-CA)²= CB·CB-2CA·CB+CA·CA
又∵ ∠C=90°，有CA⊥CB，于是CA·CB=0
∴ AB²=AC²+BC²
（2）菱形对角线相互垂直：菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD。
设 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a
∵AC=(AB+BC)，BD=(BC+CD)
∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a²cos(π-α)+a²-a²+a²cosα
又∵ cosα=-cos(π-α)
∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0
∴AC⊥BD
在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。
线性变换中点积的意义：
根据点积的代数公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假设a为给定权重向量，b为特征向量，则a·b其实为一种线性组合，函数F（a·b）则可以构建一个基于a·b+c = 0 （c为偏移）的某一超平面的线性分类器，F是个简单函数，会将超过一定阈值的值对应到第一类，其它的值对应到第二类。
 
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参考资料