Tarjan算法详解

Tarjan算法详解

【概念】

　　在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

　　

【功能】

    Tarjan算法的用途之一是，求一个有向图G=(V,E)里极大强连通分量。强连通分量是指有向图G里顶点间能互相到达的子图。而如果一个强连通分量已经没有被其它强通分量完全包含的话，那么这个强连通分量就是极大强连通分量。

【算法思想】

    用dfs遍历G中的每个顶点，通dfn[i]表示dfs时达到顶点i的时间，low[i]表示i所能直接或间接达到时间最小的顶点。(实际操作中low[i]不一定最小，但不会影响程序的最终结果)

    程序开始时，time初始化为0，在dfs遍历到v时，low[v]=dfn[v]=time++，

　　v入栈（这里的栈不是dfs的递归时系统弄出来的栈）扫描一遍v所能直接达到的顶点k，

　　如果 k没有被访问过那么先dfs遍历k，low[v]=min(low[v],low[k])；

　　如果k在栈里，那么low[v]=min(low[v],dfn[k])(就是这里使得low[v]不一定最小，但不会影响到这里的low[v]会小于dfn[v])。

　　扫描完所有的k以后，如果low[v]=dfn[v]时，栈里v以及v以上的顶点全部出栈，且刚刚出栈的就是一个极大强连通分量。

【大概的证明】

　　1．在栈里，当dfs遍历到v，而且已经遍历完v所能直接到达的顶点时，low[v]=dfn[v]时，v一定能到达栈里v上面的顶点：

    因为当dfs遍历到v，而且已经dfs递归调用完v所能直接到达的顶点时（假设上面没有low=dfn），这时如果发现low[v]=dfn[v]，栈上面的顶点一定是刚才从顶点v递归调用时进栈的，所以v一定能够到达那些顶点。

　　2 .dfs遍历时，如果已经遍历完v所能直接到达的顶点而low[v]=dfn[v]，我们知道v一定能到达栈里v上面的顶点，这些顶点的low一定小于 自己的dfn，不然就会出栈了，也不会小于dfn[v],不然low [v]一定小于dfn[v],所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个强连通分量，如果它不是极大强连通分量的话low[v]也一定小于dfn[v]（这里不再详细说），所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个极大强连通分量。

【时间复杂度】

   　　  因为所有的点都刚好进过一次栈，所有的边都访问的过一次，所以时间复杂度为O（n+m）

【算法演示】

　　下面给出一个大牛写的tarjan算法演示，很好，将tarjan算法的操作原理形象地表现了出来，可以很好地理解整个算法的执行过程。

　　从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

　　

　　返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

　　

　　返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

　　

　　继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

　　

　　至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

　　可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

　　求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

　　求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

【源代码c++】

　　

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;

#define MAX_VERTEX_SIZE 10001
struct EdgeNode{
    int vertex;
    EdgeNode *nextArc;
};

struct VerTexNode{
    EdgeNode* firstArc;
};

struct Graph{
    int n,e;
    VerTexNode vNode[MAX_VERTEX_SIZE];
};

int time = 0;
int low[MAX_VERTEX_SIZE];
int dfn[MAX_VERTEX_SIZE];
int visited[MAX_VERTEX_SIZE];
int inStack[MAX_VERTEX_SIZE];
stack<int> st;
Graph graph;

void initeGraph(int n,int m)
{
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        graph.vNode[i].firstArc = NULL;
    }
    graph.n = n;
    graph.e = m;

}

//头插法建立图
void creatGraph(int s,int v)
{
    EdgeNode *edgeNode = new EdgeNode;
    edgeNode->vertex = v;
    edgeNode->nextArc = graph.vNode[s].firstArc;
    graph.vNode[s].firstArc = edgeNode;
}    

int min(int a,int b)
{
    if(a>b)
        return b;
    else
        return a;
}

void trajan(int u)
{
    dfn[u] = low[u] = time++;
    st.push(u);
    visited[u] = 1;
    inStack[u] = 1;
    EdgeNode *edgePtr = graph.vNode[u].firstArc;
    while(edgePtr !=NULL)
    {
        int v = edgePtr->vertex;
        if(visited[v] == 0)
        {
            trajan(v);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }
        else
        {
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
        edgePtr = edgePtr->nextArc;
    }

    if(dfn[u] == low[u])
    {
        int vtx;
        cout<<"set is: ";
        do{
            vtx = st.top();
            st.pop();
            inStack[vtx] = 0;//表示已经出栈
            cout<<vtx<<' ';
        }while(vtx !=u );
    }

}

int main()
{
    int n,m;
    int s,a;
    cin>>n>>m;
    initeGraph(n,m);
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        visited[i] = 0;
        inStack[i] = 0;
        dfn[i] = 0;
        low[i] = 0;
    }

    for(int j = 1;j<=m;j++)
    {
        cin>>s>>a;
        creatGraph(s,a);
    }

    for(int i =1;i<=n;i++)
        if(visited[i] == 0)
            trajan(i);
    return 0;
}