Analysis
①首先将所有粉刷匠,按照必须刷的小木块Si从小到大排序.
上面这个操作为了保证我们可以顺序处理.
②我们可以设f[i][j]表示为,前i个粉刷匠,刷了前i个木块.可以有些木块选择不刷
状态确定好了后,我们分两种情况讨论.
第i个粉刷匠不工作,那么
f[i][j]=f[i−1][j]
第j个木板不刷,那么
f[i][j]=f[i][j−1]
.
结合上面的讨论,我们不难发现,
f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])
接下来的问题就是,如果说粉刷匠工作,而且也还刷第j个木块,那么我们不得不仔细思考.
对于一个粉刷匠而言,如果说聘请他工作,那么显然我们有几个条件.
他粉刷的区间长度,至少为1,最多为Li.
他粉刷的区间内必须包括Si这个小木块.
粉刷区间左端点,必须小于等于Si
综上所述我们不妨设置一个粉刷匠粉刷的区域为[k+1,j]
那么根据上面所说的条件,我们将它转换为数学计算机语言,如下面这个式子所示.
k+1≤si≤j 1≤j−(k+1)≤Li K≤Si−1
综上所述,我们可以将状态转移方程一步步出来.
f[i][j]=maxf[i−1][j],f[i][j−1],f[i][j] f[i][j]=maxj−Li≤k≤Si−1(f[i][j],f[i−1][k]+Pi∗(j−(k+1)+1))
得出了一个朴素的状态转移方程,我们不得不进行转换一下.
f[i][j]=maxj−Li≤k≤Si−1(f[i][j],f[i−1][k]+Pi∗(j−(k+1)+1))
我们不妨去掉一个括号.
f[i][j]=maxj−Li≤k≤Si−1(f[i][j],f[i−1][k]+Pi∗(j−k))
上面的一次次变换,让我们发现了,如果说我们要求的f[i][j]要选取到最大值,那么我们核心目标点就是让Max函数内部的
f[i−1][k]−Pi∗k
尽量地大.
尽然如此的话,我们发现K的取值是一个范围,但是我们并不关心这个范围内所有的数值,我们唯一的关心点就是这个范围的最大值.也就是最大的f[i−1][k]
一个区间,最大值,这些关键字眼,不得不让我们思考一下单调队列这种优秀的数据结构.因此我们把中心放到单调队列上面.
单调队列的核心要点,就是生存能力的判断.
我们逐步入手,下面给出几个判断依据.
我们设当前有两个点,一个是k1,另外一个是k2.
我们发现当前点,如果说k1<k2,也就是k2后出现.
我们将k1,k2代入到我们的状态转移方程中的决定部分.
那么将k1代入
f[i−1][k1]−Pi∗k1
再将k2代入其中
f[i−1][k2]−Pi∗k2
我们发现如果说我们再满足下面这个条件的话,那么k2一定优于k1
于是可以用单调队列维护了
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #define int long long 7 #define maxn 16000+10 8 #define maxm 1000+10 9 using namespace std; 10 inline int read() 11 { 12 int x=0; 13 bool f=1; 14 char c=getchar(); 15 for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c=='-') f=0; 16 for(; isdigit(c); c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; 17 if(f) return x; 18 return 0-x; 19 } 20 inline void write(int x) 21 { 22 if(x<0){putchar('-');x=-x;} 23 if(x>9)write(x/10); 24 putchar(x%10+'0'); 25 } 26 int n,m; 27 int deque[maxn]; 28 int dp[maxm][maxn]; 29 struct node 30 { 31 int l,p,s; 32 }x[maxm]; 33 inline bool cmp(node x,node y) 34 { 35 return x.s<y.s; 36 } 37 inline int calc(int i,int k) 38 { 39 return dp[i-1][k]-x[i].p*k; 40 } 41 signed main() 42 { 43 n=read();m=read(); 44 for(int i=1;i<=m;i++) 45 { 46 x[i].l=read();x[i].p=read();x[i].s=read(); 47 } 48 sort(x+1,x+m+1,cmp); 49 for(int i=1;i<=m;i++) 50 { 51 int head=1,tail=0; 52 for(int k=max(0ll,x[i].s-x[i].l);k<=x[i].s-1;k++) 53 { 54 while(head<=tail&&calc(i,deque[tail])<=calc(i,k)) tail--; 55 deque[++tail]=k; 56 } 57 for(int j=1;j<=n;j++) 58 { 59 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); 60 if(j>=x[i].s) 61 { 62 while(head<=tail&&deque[head]<j-x[i].l) head++; 63 if(head<=tail) 64 dp[i][j]=max(dp[i][j],calc(i,deque[head])+x[i].p*j); 65 } 66 } 67 } 68 write(dp[m][n]); 69 return 0; 70 }
请各位大佬斧正（反正我不认识斧正是什么意思）