基本形式
证明
不提供数学证明。
简要讲一下抽象理解伪证:
考虑从大到小排名为 (i) 的数,这个数会作为集合 (T) 的最小值出现时,那么 (T) 剩下的所有值都是从大于它的数中选取的。那么选取方案就是 (inom{i-1}{|T|-1})。
如果 (i=1),也就是 (a_i = max(S)),那么它只会被加上 (1) 次。
如果 (i>1),那么它一共会被算 (sumlimits_{2 otmid j, j=1}^{i-1} inom{i-1}{j-1} - sumlimits_{2mid j, j=2}^{i-1}inom{i-1}{j-1})。根据组合数的常识,这个东西在 (i-1>0) 的时候答案为 (0)。
综上所述,(max(S) = sumlimits_{Tsubseteq S, T eq varnothing} (-1)^{|T|-1}min(T)) 成立。证毕。
扩展1
显然。
推广
令 (max_k(S)) 表示 (S) 中的第 (k) 大的值。
则
证明
类似于基本形式。
因为 (|T|geq k),所以 (min(T) leq max_k(S))。
对于从大到小排列的第 (i) 个数,同基本形式,这个数会作为集合 (T) 的最小值出现时,那么 (T) 剩下的所有值都是从大于它的数中选取的。那么选取方案就是 (inom{i-1}{|T|-1})。
如果 (i=k),那么它只会被计算 (1) 次,即 (T = {xmid xgeq a_i}) 时,同时 (inom{|T|-1}{k-1} = 1)。
如果 (i > k),那么如上文所述,它会作为大小为 (|T|) 的集合出现的次数为 (inom{i-1}{|T|-1})。每一次出现会被计算 (inom{|T|-1}{k-1}) 次。所以它作为大小为 (|T|) 的集合出现的总贡献为 (inom{i-1}{|T|-1}inom{|T|-1}{k-1} = inom{i-1}{k-1}inom{i-k}{|T|-k})。所以 (i) 的总贡献为 (sumlimits_{2 otmid j, j=k}^{i-1} inom{i-1}{k-1}inom{i-k}{j-k} - sumlimits_{2mid j, j=2}^{i-1}inom{i-1}{k-1}inom{i-k}{j-k} = inom{i-1}{k-1}(sumlimits_{2 otmid j, j=k}^{i-1} inom{i-k}{j-k} - sumlimits_{2mid j, j=2}^{i-1}inom{i-k}{j-k}))。同样的,根据组合数的常识,(sumlimits_{2 otmid j, j=k}^{i-1} inom{i-k}{j-k} - sumlimits_{2mid j, j=2}^{i-1}inom{i-k}{j-k}) 这个东西只有在 (i-k=0) 时才为 (1),否则为 (0)。
应用1
常用的应用比如说:有 (n) 个变量,每个变量出现的概率为 (p)。问每一个变量都出现的期望时间。
不妨设每一个变量出现的时间为 (t_i),那么全部出现的概率可以表示为 (t) 的最大值。至少出现一个就是 (t) 的最小值。
那么根据 MinMax 容斥的一般形式:
同时,根据期望的线性性质,我们也有:
而 (E(min(T))) 显然很好求解。(显然是 (frac 1p) 对吧
所以这个问题就解决了。