真的自闭= =
多项式是什么鬼哦
首先 介绍 FFT
我才不想写那么多柿子呢
大体说一下FFT干了啥
我们对两个多项式进行卷积（即多项式乘法）
也就是
暴力计算的话是n^2的
我们考虑把它变成点值[即(x,y)表示f(x)=y] 点值相乘就快了嘛 但是变成点值了以后咋变回来呢
有个叫傅里叶的nb的人 他发明了一个nb的东西叫傅里叶变换= =
也就是通过 虚数中的单位根 来计算就可以变回来了
单位根是什么东西呢 就是在复平面上的一个单位圆 将其弧等分成若干份 第一个点位于(0,1)的n个点 把这些数带进去就可以做啦
说起来很奇特对不对 他其实就很奇特= =
具体详细的东西右转百度吧 我实在是懒得写QAQ
实现上可以直接使用模板库里的complex（虽然我用起来非常不习惯）
扔个代码跑路。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 3000010
using namespace std;
const double Pi = acos(-1.0);
struct complex
{
double x,y;
complex(double xx=0.0,double yy=0.0){x=xx,y=yy;}
}A[maxn],B[maxn];
int l,r[maxn],limit=1;
complex operator + (complex a,complex b){return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator - (complex a,complex b){return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator * (complex a,complex b){return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
void FFT(complex *a,int type)
{
for(int i=0;i<limit;i++)
if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
{
complex Wn=complex(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));
for(int R=mid<<1,j=0;j<limit;j+=R)
{
complex w=complex(1,0);
for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn)
{
complex x=a[j+k],y=w*a[j+mid+k];
a[j+k]=x+y;
a[j+mid+k]=x-y;
}
}
}
}
int main()
{
int N,M,i,j;
scanf("%d%d",&N,&M);
for(i=0;i<=N;i++) scanf("%lf",&A[i].x);
for(i=0;i<=M;i++) scanf("%lf",&B[i].x);
while(limit<=(N+M)) limit<<=1,l++;
for(i=0;i<limit;i++)
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
FFT(A,1);FFT(B,1);
for(i=0;i<=limit;i++)
A[i]=A[i]*B[i];
FFT(A,-1);
for(i=0;i<=N+M;i++)
printf("%d ",(int)(A[i].x/limit+0.5));
return 0;
}然后我们就遇到了一个神奇的模数 998244353 才不是1XXXXXX7
为什么是这个模数呢 因为他是一个2^x* ...+1的一个素数 具有一些优美的性质
我们就可以进行NTT[快速数论变换] /斜眼笑/
我们刚刚FFT中用的复平面中的单位根 所以是有小数的
这个样子可不大好因为我们要取模 所以我们有了一个很nb的东西叫做 原根
原根有一些优美的性质 就跟单位根一样 G ^ ((p-1)/i) 就是可以当成单位根使用的数啦 [i|(p-1)]这也就是p为什么要是 2^x *... +1的原因啦
小姿势：998244353的原根是3
其他详细的细节还是右转百度吧【大雾
扔个代码。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define maxn 300005
#define modn 998244353
#define G 3
#define ll long long
using namespace std;
int q_pow(ll base,ll pow)
{
ll ans=1;
while(pow)
{
if(pow&1){ans*=base;ans%=modn;}
base*=base;base%=modn;pow>>=1;
}
return (int)ans;
}
int A[maxn],B[maxn],C[maxn];
int l,r[maxn],limit,inv;
void FFT(int *a,int type)
{
int i,j,k;
for(i=0;i<limit;i++)
if(r[i]>i)
swap(a[r[i]],a[i]);
for(i=2;i<=limit;i<<=1)
{
int mid=i>>1;
int Wn=q_pow(G,(modn-1)/i);
if(type) Wn=q_pow(Wn,(modn-2));
for(j=0;j<limit;j+=i)
{
int w=1;
for(k=0;k<mid;k++)
{
int x=a[j+k],y=a[j+mid+k];
a[j+k]=x+(ll)w*y%modn;
if(a[j+k]>=modn) a[j+k]-=modn;
a[j+k+mid]=x-(ll)w*y%modn;
if(a[j+mid+k]<0) a[j+mid+k]+=modn;
w=(ll)w*Wn%modn;
}
}
}
if(type)
{
for(i=0;i<limit;i++)
a[i]=(ll)a[i]*inv%modn;
}
}
int main()
{
int n,i,j,k,m,s;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=0;i<=n;i++) scanf("%d",&A[i]);
for(i=0;i<=m;i++) scanf("%d",&B[i]);
limit=1;while(limit<=(n+m)) limit<<=1,l++;
for(i=0;i<limit;i++)
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
inv=q_pow(limit,modn-2);
FFT(A,0);FFT(B,0);
for(i=0;i<=limit;i++)
C[i]=(ll)A[i]*B[i]%modn;
FFT(C,1);
for(i=0;i<=(n+m);i++)
printf("%d
",C[i]);
return 0;
}于是我的姿势还只停留在 FFT/NTT 只是能求个卷积【大雾
然后就有一些奇奇怪怪的东西了=.=+
【奇奇怪怪的东西一】多项式求逆
我们现在有一个多项式f 我们要求一个多项式g满足
这玩意看上去是不是非常奇怪啊【明明就是非常奇怪！
假设我们现在已知一个多项式h 满足
我们可以得到
平方
卷上f
移项
递归求解就好啦
边界当然是n=1的时候 g直接取f的常数项的逆元啦qwq。
附代码。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define inf 20021225
#define ll long long
#define mdn 998244353
#define G 3
#define mxn 300100
using namespace std;
int rev[mxn];
int ksm(int bs,int mi)
{
int ans=1;
while(mi)
{
if(mi&1) ans=(ll)ans*bs%mdn;
bs=(ll)bs*bs%mdn;mi>>=1;
}
return ans;
}
int inv;
void NTT(int *a,int lim,int f)
{
for(int i=0;i<lim;i++)
if(rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int k=2;k<=lim;k<<=1)
{
int Wn=ksm(G,(mdn-1)/k),mid=k>>1;
if(f) Wn=ksm(Wn,mdn-2);
for(int w=1,i=0;i<lim;i+=k,w=1)
{
for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn)
{
int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+j+mid]%mdn;
a[i+j]=(x+y)%mdn;a[i+j+mid]=(x-y+mdn)%mdn;
}
}
}
if(f) for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn;
}
int g[mxn],h[mxn],f[mxn];
void poly_inv(int n)
{
if(n==1)
{
g[0]=ksm(f[0],mdn-2);
//printf("%d
",g[0]);
return;
}
poly_inv((n+1)>>1);
int lim=1,l=0;
while(lim<(n<<1)) lim<<=1,l++;
for(int i=0;i<lim;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
inv=ksm(lim,mdn-2);
for(int i=0;i<n;i++) h[i]=f[i];
for(int i=n;i<lim;i++) h[i]=0;
NTT(h,lim,0);NTT(g,lim,0);
for(int i=0;i<lim;i++)
g[i]=(ll)(2ll-(ll)g[i]*h[i]%mdn+mdn)%mdn*g[i]%mdn;
NTT(g,lim,1);
for(int i=n;i<lim;i++) g[i]=0;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&f[i]);
poly_inv(n);
for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",g[i]);
return 0;
}【奇奇怪怪的东西二】多项式对数函数
看上去是不是很高大上！【实则蠢得一批
对于多项式 f 求g=ln f
这之前我们科普一点求导和积分的小姿势
对于一个普通多项式
求导
积分
两个过程都很像哒 就是反过来做而已233
ln x求导是 1/x
复合函数求导
然后ln f的求导
直接多项式求逆然后求导再积分回去就好啦qwq
代码等我一哈【不咕不咕必定不可能咕
update：真的没有咕！
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define inf 20021225
#define ll long long
#define mdn 998244353
#define G 3
#define mxn 300100
using namespace std;
int ksm(int bs,int mi)
{
int ans=1;
while(mi)
{
if(mi&1) ans=(ll)ans*bs%mdn;
bs=(ll)bs*bs%mdn;mi>>=1;
}
return ans;
}
int inv,rev[mxn];
void NTT(int *a,int lim,int f)
{
for(int i=0;i<lim;i++) if(rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int k=2;k<=lim;k<<=1)
{
int mid=k>>1,Wn=ksm(G,(mdn-1)/k);
if(f) Wn=ksm(Wn,mdn-2);
for(int w=1,i=0;i<lim;i+=k,w=1)
for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn)
{
int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+j+mid]%mdn;
a[i+j]=(x+y)%mdn;a[i+j+mid]=(x-y+mdn)%mdn;
}
}
if(f) for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn;
}
void init(int lim,int l)
{
for(int i=1;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);
inv=ksm(lim,mdn-2);
}
int h[mxn],g[mxn],f[mxn];
void poly_inv(int n)
{
if(n==1){g[0]=ksm(f[0],mdn-2);return;}
poly_inv((n+1)>>1);int lim=1,l=0;
while(lim<(n<<1)) lim<<=1,l++;
for(int i=0;i<n;i++) h[i]=f[i];
for(int i=n;i<lim;i++) h[i]=0;
init(lim,l);
NTT(h,lim,0);NTT(g,lim,0);
for(int i=0;i<lim;i++)
g[i]=(2ll -(ll)g[i] *h[i] %mdn +mdn) %mdn *g[i]%mdn;
NTT(g,lim,1);
for(int i=n;i<lim;i++) g[i]=0;
}
int d[mxn];
void poly_ln(int n)
{
poly_inv(n);
for(int i=0;i<n;i++) d[i] =(ll)f[i+1] * (i+1) %mdn;
int l=0,lim=1;
while(lim<(n<<1)) lim<<=1,l++;
init(lim,l);
NTT(d,lim,0);NTT(g,lim,0);
for(int i=0;i<lim;i++) g[i]=(ll)g[i]*d[i]%mdn;
NTT(g,lim,-1);
for(int i=0;i<n;i++) d[i+1]=(ll)g[i]*ksm(i+1,mdn-2)%mdn;
d[0]=0;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&f[i]);
poly_ln(n);
for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",d[i]);
return 0;
}【奇奇怪怪的东西三】多项式指数函数
对于给定 f(x) 求h(x)= e^(f(x)) mod(x^n)
有点鬼畜是不是= =||
还是先讲一些前缀姿势
1. 泰勒展开
对于一个函数 f(x) 我们可以使用高阶导数对其无限逼近
2.牛顿迭代
我们现在要求 其中g已知
假设我们知道原式的答案为
根据泰勒展开
显然所以从第三项开始都是模x^n 为0的 我们可以不用考虑
那么就是
拆开移项得
那么我们就可以递归求解啦= =+
诶你突然发现问题了对不对= =+
g我们好像还不知道是什么呢
g当然是我们自己构造的啦 由于两边同时取ln
得到
根据牛顿迭代的柿子
所以把式子带进去
这次就没问题啦= =+
【喝了口开水差点被烫死】
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define inf 20021225
#define ll long long
#define mxn 400100
#define mdn 998244353
#define G 3
using namespace std;
int ksm(int bs,int mi)
{
int ans=1;
while(mi)
{
if(mi&1) ans=(ll)ans*bs%mdn;
bs=(ll)bs*bs%mdn;mi>>=1;
}
return ans;
}
int rev[mxn],inv;
int init(int n)
{
int lim=1,l=0;
while(lim<n) lim<<=1,l++;
for(int i=0;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);
inv = ksm(lim,mdn-2);
return lim;
}
void NTT(int *a,int lim,int f)
{
for(int i=0;i<lim;i++) if(rev[i]>i) swap(a[rev[i]],a[i]);
for(int k=2;k<=lim;k<<=1)
{
int mid=k>>1,Wn=ksm(G,(mdn-1)/k);
if(f) Wn=ksm(Wn,mdn-2);
for(int w=1,i=0;i<lim;i+=k,w=1)
for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn)
{
int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+mid+j]%mdn;
a[i+j]=(x+y)%mdn;a[i+mid+j]=(x-y+mdn)%mdn;
}
}
if(f) for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn;
}
int g[mxn],h[mxn];
void poly_inv(int *a,int n)
{
if(n==1){g[0]=ksm(a[0],mdn-2);return;}
poly_inv(a,n+1>>1);
int lim=init(n<<1);
for(int i=0;i<n;i++) h[i]=a[i];
for(int i=n;i<lim;i++) h[i]=0;
NTT(h,lim,0);NTT(g,lim,0);
for(int i=0;i<lim;i++)
g[i]=(2ll-(ll)g[i]*h[i]%mdn+mdn)%mdn*g[i]%mdn;
NTT(g,lim,1);
for(int i=n;i<lim;i++) g[i]=0;
}
int d[mxn],e[mxn];
int get_inv(int x){return ksm(x,mdn-2);}
void get_d(int *a,int n)
{
d[n-1]=0;
for(int i=0;i<n;i++) d[i]=(ll)a[i+1]*(i+1)%mdn;
}
void get_e(int *a,int n)
{
e[0]=0;
for(int i=1;i<n;i++) e[i]=(ll)a[i-1]*get_inv(i)%mdn;
}
void poly_ln(int *a,int n)
{
get_d(a,n);poly_inv(a,n);
int lim=init(n<<1);
NTT(d,lim,0);NTT(g,lim,0);
for(int i=0;i<lim;i++) g[i]=(ll)d[i]*g[i]%mdn;
NTT(g,lim,1);get_e(g,n);
}
int s[mxn],tmp[mxn];
void poly_exp(int *a,int n)
{
if(n==1){s[0]=1;return;}
int mid=n+1>>1;poly_exp(a,mid);
for(int i=0;i<(n<<1);i++) e[i]=g[i]=0;
poly_ln(s,n);
for(int i=0;i<n;i++) tmp[i]=a[i];
int lim=init(n<<1);
NTT(e,lim,0);NTT(tmp,lim,0);NTT(s,lim,0);
for(int i=0;i<lim;i++)
s[i]=((ll)tmp[i]-e[i]+1+mdn)%mdn*s[i]%mdn;
NTT(s,lim,1);
for(int i=n;i<lim;i++) s[i]=tmp[i]=0;
}
int f[mxn];
int main()
{
int n;scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&f[i]);
poly_exp(f,n);
for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",s[i]);
return 0;
}【奇奇怪怪的东西五】多项式除法
听起来是不是十分酷炫 实际上用到一个神奇的转化就可以轻轻松松松松松（大雾）的通过啦
我们对于给定 n次多项式f(x) 和 m次多项式g(x) 求中的 d 和 r 没错就是平常见过的多项式除法 其中（n>m）
这个玩意如何实现呢？ 直接做的话肯定是O(nm) 十分不优秀 况且既然有了 FFT这种nb的东西 怎么能让这么不优美的复杂度存在呢
下面来介绍这个神奇的操作
我们将一个多项式的系数翻转【没错 就是 前后倒过来那个翻转】
这个应该怎么在数学中实现呢 就是这个样子
然后我们来干一些有趣的事情 把前面的所有多项式中的x替换成然后等式两边同时乘
于是就有了
然后我们发现这个玩意很优美 可以化成
我们发现 余数项的最低次都是n-m+1 所以我们可以让整个柿子对取模来消除r对答案的影响。
然后我们就可以鱼块的多项式求逆来求出再翻转回来得到
带回原式把
求出来就做完啦
所以其实比前面的还要好写= =+
代码。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define inf 20021225
#define ll long long
#define mdn 998244353
#define mxn 400100
#define G 3
using namespace std;
int ksm(int bs,int mi)
{
int ans=1;
while(mi)
{
if(mi&1) ans=(ll)ans*bs%mdn;
bs=(ll)bs*bs%mdn;mi>>=1;
}
return ans;
}
int inv,rev[mxn];
void NTT(int *a,int lim,int f)
{
for(int i=1;i<lim;i++) if(rev[i]>i) swap(a[rev[i]],a[i]);
for(int k=2;k<=lim;k<<=1)
{
int mid=k>>1,Wn=ksm(G,(mdn-1)/k);
if(f) Wn=ksm(Wn,mdn-2);
for(int i=0,w=1;i<lim;w=1,i+=k)
for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn)
{
int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+mid+j]%mdn;
a[i+j]=(x+y)%mdn;a[i+mid+j]=(x-y+mdn)%mdn;
}
}
if(f) for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn;
}
int g[mxn],h[mxn];
int init(int n)
{
int lim=1,l=0;
while(lim<n) lim<<=1,l++;
for(int i=0;i<lim;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);
inv=ksm(lim,mdn-2);
return lim;
}
void poly_inv(int *a,int n)// g
{
if(n==1){g[0]=ksm(a[0],mdn-2);return;}
int mid=(n+1)>>1;poly_inv(a,mid);
int lim=init(n<<1);
for(int i=0;i<n;i++) h[i]=a[i];
for(int i=n;i<lim;i++) h[i]=0;
NTT(h,lim,0);NTT(g,lim,0);
for(int i=0;i<lim;i++)
g[i]=(2ll -(ll)h[i]*g[i]%mdn +mdn)%mdn*g[i]%mdn;
NTT(g,lim,1);
for(int i=n;i<lim;i++) g[i]=0;
}
int ff[mxn],f[mxn],d[mxn],fd[mxn],r[mxn];
void reverse(int *a,int *b,int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
b[i]=a[n-i-1];
}
void poly_div(int n,int m)
{
reverse(f,ff,n);reverse(d,fd,m);
int nn=n-m+1;poly_inv(fd,nn);
//for(int i=0;i<nn/2;i++) swap(g[i],g[nn-i-1]);
int lim=init(n<<1);// 2n-m+1
NTT(g,lim,0);NTT(ff,lim,0);
for(int i=0;i<lim;i++) g[i]=(ll)g[i]*ff[i]%mdn;
NTT(g,lim,1);
for(int i=nn;i<lim;i++) g[i]=0;
for(int i=0;i<nn/2;i++) swap(g[i],g[nn-i-1]);
NTT(g,lim,0);NTT(d,lim,0);NTT(f,lim,0);
for(int i=0;i<lim;i++) d[i]=(ll)d[i]*g[i]%mdn;
for(int i=0;i<lim;i++) r[i]=(f[i]-d[i]+mdn)%mdn;
NTT(r,lim,1);NTT(g,lim,1);
for(int i=0;i<nn;i++) printf("%d ",g[i]);
printf("
");
for(int i=0;i<m-1;i++) printf("%d ",r[i]);
printf("
");
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);n++;m++;
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&f[i]);
for(int i=0;i<m;i++) scanf("%d",&d[i]);
poly_div(n,m);
return 0;
}持续更新！= =+
多项式全家桶大概到这里就告一段落啦~
或许什么时候我会写多点求值，但那也是要先学完插值的啦。
所以到这里
完结撒花✧(≖ ◡ ≖✿)
我竟然没有鸽