动态规划求解最多有几种方案求解硬币找零问题

一，问题描述

假设有 m 种面值不同的硬币，存储在 coinsValues数组中，现需要使用这些硬币来找钱，各种硬币的使用个数不限。 求对于给定的钱数N，我们最多有几种不同的找钱方式。硬币的顺序并不重要。

二，动态规划分析

为了更好的分析，先对该问题进行具体的定义：将用来找零的硬币的面值存储在一个数组中。如下：

coinsValues[i] 表示第 i 枚硬币的面值。比如，

第 i 枚硬币     面值

    1                1

    2                3

    3                4

待找零的钱数为 n （上面示例中 n=6）

为了使问题总有解，一般第1枚硬币的面值为1

设 c[i,j]表示 使用 第 1,2,...i 种面值的硬币时，需要找金额为 j 的钱，最多可采用多少种不同的方式？

i 表示可用的硬币种类数， j 表示 需要找回的零钱

①最优子结构

对于某种面值的硬币，要么使用了（可能使用多次）它，要么不使用它。故：

c[i,j]=c[i-1,j] + c[i,j-coinsValue[i]]

c[i-1,j] 表示不使用第 i 枚硬币， c[i, j-coinsValue[i]] 表示至少使用了一次 第 i 枚硬币。c[i, j-coinsValue[i]] 表示，第 i 枚硬币还可以继续使用。因为第一个参数还是 i

从这里可以看出：用到了《组合数学》中的加法原理。

如何确定初始（基准）条件？一个重要的方法就是画一个简单的实例图。（借用网上一张图:）

C({1,2,3},j) --> recursiveChargeTypes
                              C({1,2,3}, 5)                     
                           /                
                         /                                 
             C({1,2,3}, 2)                 C({1,2}, 5)
            /                             /         
           /                             /           
C({1,2,3}, -1)  C({1,2}, 2)        C({1,2}, 3)    C({1}, 5)
               /                 /                /     
             /                  /                /       
    C({1,2},0)  C({1},2)   C({1,2},1) C({1},3)    C({1}, 4)  C({}, 5)
                   /       /        /         /         
                  /       /        /         /        
                .      .  .     .   .     .   C({1}, 3) C({}, 4)
                                               /  
                                              /      
                                             .      .

比如，按照红色那条路走，就知道 5 使用了硬币面值3 和 2，故成功找零，此时 j=0了，这是一种找零方式 ==》 当j==0时，返回1

三，代码实现

public class DPCoinCharge {
    
    public static int chargeTypes(int[] coinsValues, int n){
        int m = coinsValues.length;
        int[][] c = new int[m+1][n+1];
        
        //基准条件,可参考下面的递归代码
        for(int i = 0; i <=m; i++)
            c[i][0] = 1;
        for(int i = 1; i <=n; i++)
            c[0][i] = 0;
        
        
        for(int i = 1; i <=m; i++)
        {
            for(int j = 1; j <=n; j++)
            {
                if(j < coinsValues[i-1])//第 i 枚硬币 不可用. (需要找 5块钱,但是现在只有一张百元大钞)
                {
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                    continue;
                }
                //在第 i 枚硬币可用的情况下, 不使用 第 i 枚硬币 或者第 i 枚硬币至少使用一次---状态方程
                c[i][j] = c[i-1][j] + c[i][j - coinsValues[i-1]];//coinsValues下标从0开始
            }
        }
        return c[m][n];
    }
    
    //递归实现
    public static int recursiveChargeTypes(int[] coinsValues, int m, int n)
    {
        //基准条件 可以 通过画一个简单的实例 分析来得出. 比如 recursiveChargeTypes({1,3,4}, 3, 5)
        if(n == 0)
            return 1;
        if(n < 0)
            return 0;
        if(m <= 0)
            return 0;
        else
            return recursiveChargeTypes(coinsValues, m-1, n) + recursiveChargeTypes(coinsValues, m, n-coinsValues[m]);
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] coinsValues = {1,2,3};
        int n = 5;
        int maxTypes = chargeTypes(coinsValues, n);
        System.out.println(maxTypes);
    }
}

四，参考资料

硬币找零问题的动态规划实现

某种 找换硬币问题的贪心算法的正确性证明

从 活动选择问题 看动态规划和贪心算法的区别与联系

http://www.acmerblog.com/dp6-coin-change-4973.html