组合问题与动态规划的联系之应用

一，问题描述

 假设有个机器人坐在 X×Y 网格的最左上角，每次只能向下或者向左移动。最左上角的坐标标记为(0,0)，最右下角的坐标为(X,Y)

请问：机器人从(0,0)走到(X,Y)共有多少种走法？其实这个问题与 这篇文章 中提到的问题非常相似。

二，问题分析

这个问题一共有三种方式来求解。第一种是使用公式；第二种是使用递归；第三种是使用动态规划

使用递归和动态规划，其实本质上是一致的。都是使用组合原理进行问题分析。

机器人从(0,0)走到(X,Y)一共需要走 X+Y步。其中必须有X步是向下走的(因为最终的横坐标是X)。问题转化为：从X+Y步走法中，选出X步是向下走，一共有多少种选法?这是一个组合问题了。答案是C(X+Y,X)

还有另一种理解方式：

由于机器人不能往回走，只能向下或者向左走。因此，将向下走记为 Down，向左走记为Left。问题就转化为{X·Down,  Y·Left}的一个全排列问题。

即：集合{X·Down,  Y·Left}有两个元素，Down和Left。Down一共有X个，Left一共有Y个。

从(0,0)走到(X,Y)就相当于对集合所有的元素进行全排列。由于这是一个“重集合”，故全排列数为 (X+Y)!/X!·Y!

其中，(X+Y)!/X!·Y!  等于 C(X+Y,X)

对于(X,Y)，一共有两种情况：从(X-1,Y)向下走一步到达(X,Y)；从(X,Y-1)向右走一步到达(X,Y)

设steps(X,Y)表示从(0,0)走到(X,Y)一共用的方式数，那么 steps(X,Y)=steps(X-1,Y)+steps(X,Y-1)

初始条件：steps(0,0)=1；steps(x,0)=steps(0,y)=1

因此，就可以代表上面的公式使用递归或者DP求解了。

三，代码实现

public class Steps {
    
    public static int steps(int x, int y)
    {
        if(x < 0 || y < 0)
            throw new IllegalArgumentException();
        return steps_recur(x, y);
    }
    
    //使用递归来求解
    private static int steps_recur(int x, int y)
    {
        assert x >=0 || y >= 0;
        if(x == 0 || y == 0)
            return 1;
        return steps_recur(x - 1, y) + steps_recur(x, y - 1);
    }
    
    //dp resolve
    public static int steps_dp(int x, int y)
    {
        if(x < 0 || y < 0)
            throw new IllegalArgumentException();
        
        int[][] dp = new int[x + 1][y + 1];
        
        //dp的初始条件
        for(int i = 0; i <= x; i++)
            dp[i][0] = 1;//y==0，说明只能向右走
        for(int i = 0; i <= y; i++)
            dp[0][i] = 1;//x==0，说明只能往下走
        
        //状态方程的实现,for循环从1开始,充分体现了自底向上的思想
        for(int i = 1; i <= x; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= y; j++)
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[x][y];
    }

    //使用公式来求解
    public static int steps_factorial(int x, int y){
        if(x < 0 || y < 0)
            throw new IllegalArgumentException();
        return factorial(x + y) / (factorial(x) * factorial(y));
    }
    
    //求n!
    public static int factorial(int n){
        if(n < 0)
            throw new IllegalArgumentException();
        int res = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            res *= i;
        return res;//0!=1
    }
    
    //test
    public static void main(String[] args) {
        int x = 1;
        int y = 5;
        System.out.println("dp solve:" + steps_dp(x, y));
        System.out.println("formula solve:" + steps_factorial(x, y));
        System.out.println("recursive solve:" + steps(x, y));
    }
}

四，参考资料

 动态规划之Fib数列类问题应用

排列与组合的一些定理（二）

排列与组合的一些定理