0-1背包问题的动态规划实现

一，问题描述

给定一个背包，已知背包的最大承重为packageWeight，再给出若干件(numbers件)物品，已经每件物品的重量和对应的价值。

物品的重量存储在weight[]数组中，物品的价值存储在value[]数组中。

现在要求：应该挑选哪几件物品，使得背包装下最大的价值（注意：装的物品的重量不能超过背包的承重）

（本文在最后打印出了装入了哪几件物品）

二，问题分析

这是一个典型的动态规划求解。对于每件物品而言，只有两种选择，要么选中它装入背包；要么不选它。因此，这是一个0-1背包问题，而不是部分背包问题（只选这件物品的一部分）

关于部分背包问题，可参考：部分背包问题的贪心算法正确性证明

对于DP而言，关键是列出它的状态方程，0-1背包问题的状态方程与“硬币找零”问题的状态方程非常相似。关于硬币找零，可参考：硬币找零问题的动态规划实现

这里再重新分析一个0-1背包问题的状态方程：

设 dp[i][j] 表示：在背包最大承重为 j 时，可选的物品件数有 i 件 的情况下，背包装下的物品的最大价值。

dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]  表示：当将第 i 件物品装入背包时，背包还能承受的重量变成: j-weight[i-1]  (weight[]数组下标0存储第一件物品的重量)

由于第 i 件物品已经考虑了(将之装入到背包了)，故现在可装入的物品 只有 i-1 件了。

dp[i-1][j]表示：不将第 i 件物品装入背包。此时，本次选择对背包的承重没有影响，故 j 不变。由于第 i 件物品已经考虑了(不把它装入背包)，故现在可装入的物品只有 i-1 件了。

由于我们要找能装入背包的最大价值，在上面两种情形下，哪种选择的导致的价值最大，就选谁。从而状态方程如下：--取二者中较大的那个。

dp[i][j]=max{dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]， dp[i-1][j]}

三，代码分析：

假设第一行输入两个数： 背包的最大承重和物品的件数----packageWeight    numbers

第二行输入物品的重量，第三行输入对应的物品的价值，格式如下：

10 5

2 2 6 5 4
6 3 5 4 6

        String packInfo = null;
        String weights = null;
        String values = null;
        while(scanner.hasNextLine()){
            packInfo = scanner.nextLine();
            int packageWeight = Integer.valueOf(packInfo.split(" ")[0]);
            int numbers = Integer.valueOf(packInfo.split(" ")[1]);
            
            weights = scanner.nextLine();
            values = scanner.nextLine();
            String[] weis = weights.split(" ");
            String[] vals = values.split(" ");
            //weight[]数组是从下标0开始存储，索引0存储第一件物品的重量
            int[] weight = new int[numbers];
            int[] value = new int[numbers];
            
            for(int i = 0; i < numbers; i++)
            {
                weight[i] = Integer.valueOf(weis[i]);
                value[i] = Integer.valueOf(vals[i]);
            }

以上代码解析输入的情况。

int[][] dp = new int[numbers + 1][packageWeight + 1];
            
//init
for(int i = 0; i <= numbers; i++)
    dp[i][0] = 0;
for(int i = 0; i <= packageWeight; i++)
    dp[0][i] = 0;

这段代码对背包问题进行初始化。dp[i][0]=0 表示：背包最大承重为0，故不能装物品，故装入的物品最大价值也就是0了。

dp[0][j]=0 表示：可选的物品种类为0，背包的最大承重为 j 。都没有物品可选，怎么装？没有物品装啊。故最大价值也为0。

//dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]}
for(int i = 1; i <= numbers; i++)
{
    for(int j = 1; j <= packageWeight; j++)
    {
        if(weight[i-1] > j)// 第i件物品的重量大于背包的承重
                
        {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            continue;
        }
        //dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]}
        if(dp[i-1][j] < dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1])
            dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1];
        else
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
    }
}

这段代码，本质上就是状态方程的实现。它以自底向上(从下标1开始求啊...)的方式求解DP问题。

既然，找出了能够装入的最大价值，那能不能知道装入了哪些物品？？？

当然也是可以知道的。

//反向找出 选中的物品(哪些物品装入到背包中了?)
int j= packageWeight;  
for(int i = numbers;i>0;i--){
    if(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
        System.out.print(i+"  ");//输出选中的物品的编号
        j=j-weight[i-1];
        if(j<0) break;
    }

第四行if语句成立时，说明将第 i 件物品装入到背包中了，结果导致价值增大。第五行打印出装入了哪几件物品。

四，完整代码实现

import java.util.Scanner;  
public class Main {  
    
    public static void zeroOnePack(){
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        String packInfo = null;
        String weights = null;
        String values = null;
        while(scanner.hasNextLine()){
            packInfo = scanner.nextLine();
            int packageWeight = Integer.valueOf(packInfo.split(" ")[0]);
            int numbers = Integer.valueOf(packInfo.split(" ")[1]);
            
            weights = scanner.nextLine();
            values = scanner.nextLine();
            String[] weis = weights.split(" ");
            String[] vals = values.split(" ");
            //weight[]数组是从下标0开始存储，索引0存储第一件物品的重量
            int[] weight = new int[numbers];
            int[] value = new int[numbers];
            
            for(int i = 0; i < numbers; i++)
            {
                weight[i] = Integer.valueOf(weis[i]);
                value[i] = Integer.valueOf(vals[i]);
            }
            
            int[][] dp = new int[numbers + 1][packageWeight + 1];
            
            //init
            for(int i = 0; i <= numbers; i++)
                dp[i][0] = 0;
            for(int i = 0; i <= packageWeight; i++)
                dp[0][i] = 0;
        
            //dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]}
            for(int i = 1; i <= numbers; i++)
            {
                for(int j = 1; j <= packageWeight; j++)
                {
                    if(weight[i-1] > j)// 第i件物品的重量大于背包的承重
                
                    {
                        dp[i][j] = dp[i-1][j];
                        continue;
                    }
                    //dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]}
                    if(dp[i-1][j] < dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1])
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1];
                    else
                        dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
            System.out.println(dp[numbers][packageWeight]);//输出背包能够装的最大价值
            
            //反向找出 选中的物品(哪些物品装入到背包中了?)
            int j= packageWeight;  
            for(int i = numbers;i>0;i--){
                if(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
                    System.out.print(i+"  ");//输出选中的物品的编号
                    j=j-weight[i-1];
                    if(j<0) break;
                }  
        }//end while
    }  
        scanner.close();
}
    //hapjin's test case
    //10 5
    //2 2 6 5 4
    //6 3 5 4 6
    public static void main(String[] args) {
        zeroOnePack();
    }
}

五，参考资料

某种 找换硬币问题的贪心算法的正确性证明

硬币找零问题的动态规划实现

部分背包问题的贪心算法正确性证明

从 活动选择问题 看动态规划和贪心算法的区别与联系

原文：http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5818418.html